IFS, fractales & jeu du chaos

IFS et fractale


Un système de fonctions itérées ou IFS (pour, en anglais, Iterated Function System) est un ensemble de $N$ fonctions $\bigl\{f_1;f_2;\dots,f_N\bigr\}$ contractantes.
On définit à partir de ces fonctions l'opérateur de Hutchinson $F$ qui à tout ensemble $A$ de points du plan associe l'ensemble de points $F(A)$ défini par:
\[F(A)=\bigcup_{i=1}^N f_i(A)\]

$F$ est aussi contractante, et le théorème du point fixe (de Banach - Picard) nous assure de l'existence et l'unicité d'un point fixe de $F$, ici un ensemble $S$ tel que
\[S=F(S)=\bigcup_{i=1}^N f_i(S)\]

L'ensemble $F$ s'appelle l'attracteur de l'IFS. C'est la définition même d'une figure fractale, c'est-à-dire d'un ensemble invariant par changement d'échelle, ou encore d'un ensemble autosimilaire.
La relation $S=\dsp\bigcup_{i=1}^N f_i(S)$ peut en effet se reformuler ainsi: $S$ est la réunion de copies de lui même. On parle en toute rigueur d'autosimilarité lorsque les fonctions $f_i$ sont des similitudes, c'est-à-dire des fonctions composées de rotations et homothéties.

En pratique, pour déterminer cet attracteur, on peut construire récursivement à partir d'un ensemble quelconque de points, voire un seul point, $M$ l'ensemble
\[M\,; F(M)\,;F(F(M))\,; F(F(F(M)))\,;\dots\]

c'est-à-dire aussi construire la suite d'ensembles de points $M_n$ telle que $M_0=M$, puis, pour tout entier $n$,
\[M_{n+1}=F\left( M_n\rp\]

La suite $M_n$ s'appelle l'orbite de $M$, et c'est de cette construction que vient le nom de système de functions itérées.

L'attracteur de l'IFS est la limite de ces ensembles $\dsp\lim_{n\to+\infty}M_n=S$, vérifiant donc la relation de point fixe
\[S=F\left( S\rp\]


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