Valeur approchée d'un angle avec le produit scalaire
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, soit les points
,
et
.
Donner une valeur de l'angle
au dixième de degré près.
![$A(3;-2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/1.png)
![$B(5;2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/2.png)
![$C(-1;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/3.png)
Donner une valeur de l'angle
![$\widehat{BAC}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle/4.png)
Correction
Soit les points
,
et
,
on a donc
et
d'où
On a aussi
,
avec
et
,
d'où
.
On a alors, en utilisant la question précédente,
![\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/11.png)
soit aussi
![\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/12.png)
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
Cacher la correction
Soit les points
![$A(3;-2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/1.png)
![$B(5;2)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/2.png)
![$C(-1;1)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/3.png)
![$\overrightarrow{AB}\lp\begin{array}{c}2\\4\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/4.png)
![$\overrightarrow{AC}\lp\begin{array}{c}-4\\3\enar\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/5.png)
d'où
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\tm(-4)+4\tm3=4$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/6.png)
On a aussi
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/7.png)
avec
![$AB=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/8.png)
![$AC=\sqrt{(-4)^2+3^2}=5$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/9.png)
![$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/10.png)
On a alors, en utilisant la question précédente,
![\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4=2\sqrt5\tm5\tm\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/11.png)
soit aussi
![\[\cos\lp\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\rp=\dfrac4{2\sqrt5\tm5}=\dfrac2{5\sqrt5}\]](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/12.png)
Avec l'aide de la caclulatrice, on trouve alors la valeur approché de l'angle
![$\widehat{BAC}\simeq79,7^\circ$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap6/exangle_c/13.png)
Cacher la correction
Tag:Produit scalaire
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