Une inéquation avec une fraction rationnelle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Résoudre les équations ou inéquations :
a) $ 2x^2-3x=x^2-2x+6$
b) $ x^4+x^2-12=0$
c) $ x^4-11x^2+28=0$
d) $ \displaystyle 2x-\frac{4}{x}-7=0$
e) $ x^2-9x\geq 90$
f) $ x^4+x^2-2<0$

Correction
a) $ 2x^2-3x=x^2-2x+6 \Longleftrightarrow x^2-x-6=0$ .

$ x_1=-2$ est solution, et comme $ x_1x_2=-6$ , $ x_2=3$ est aussi solution, d'où $ \mathcal{S}=\left\{-2;3\right\}$ .


b) $ (E) : x^4+x^2-12=0$ . Soit $ x$ une solution éventuelle de $ (E)$ , et $ X=x^2$ , alors $ X$ est solution de l'équation $ (E') : X^2+X-12=0$ . Cette équation admet pour solutions $ X_1=3$ et $ X_2=-4$ .

Ainsi, si $ x$ est une solution de (E), alors $ x^2=3$ ou $ x^2=-4$ . La première possibilité nous donne $ x=-\sqrt{3}$ ou $ x=\sqrt{3}$ , tandis que la deuxième est impossible.

Réciproquement, on vérifie bien que $ \sqrt{3}$ et $ \sqrt{-3}$ sont solutions de (E), d'où $ \mathcal{S}=\left\{-\sqrt{3},\sqrt{3}\right\}$ .

c) $ (E) : x^4-11x^2+28=0$ . De même que précédemment, si $ x$ est solution de $ (E)$ , on pose $ X=x^2$ . Alors $ X$ est solution de $ (E') : X^2-11X+28=0$ . Cette équation du second degré a pour discriminant $ \Delta=9$ et admet donc les deux solutions réelles distinctes: $ X_1=4$ et $ X_2=7$ .

Ainsi, si $ x$ est solution de $ (E)$ , alors $ x^2=4$ ou $ x^2=7$ , d'où, $ x=-2$ ou $ x=2$ ou $ x=\sqrt{7}$ ou $ x=-\sqrt{7}$ .

Réciproquement, on vérifie bien que ces valeurs sont solutions de $ (E)$ , et donc $ \mathcal{S}=\left\{-\sqrt{7};-2;2;\sqrt{7}\right\}$ .

d) $ (E) : \displaystyle 2x-\frac{4}{x}-7=0$ . $ x=0$ n'est pas solution de cette équation; on peut donc multiplier chaque membre par $ x$ , et ainsi $ (E) \Longleftrightarrow 2x^2-7x-4=0$ . Cette équation du second degré a pour discriminant $ \Delta=81$ , et donc pour solution $ \mathcal{S}=\left\{-\frac{1}{2};4\right\}$ .
e) $ x^2-9x\geq 90 \Longleftrightarrow x^2-9x-90\geq 0$ . Le discriminant de ce trinôme est $ \Delta=441$ , et ses deux racines sont $ x_1=-15$ et $ x_2=6$ . Ce trinôme est donc positif ou nul pour $ x\in ]-\infty;-15] \cup [6;+\infty[$ .
f) $ (I) : x^4+x^2-2<0$ . Soit $ X=x^2$ , alors $ X$ est solution de $ (I') : X^2+X-2<0$ . Les deux racines de ce trinôme sont $ X_1=1$ (racine évidente) et $ X_2=-2$ (car $ X_1X_2=-2$ ).

$ (I')$ est donc vérifiée pour $ -2<X<1$ , soit $ -2<x^2<1$ .

Pour tout $ x$ réel, $ x^2\geq 0>-2$ , tandis que $ x^2<1 \Longleftrightarrow -1<x<1$ . Finalement, $ \mathcal{S}=]-1;1[$ .



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