Sens de variation, produit et composée avec fonction exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Étudier le sens de variation de la fonction $f$ définie par $f(x)=2xe^{3x^2}$.
Préciser l'équation de la tangente au point d'abscisse 0.

Correction
On a $f=uv$ avec $u(x)=2x$ donc $u'(x)=2$ et $v(x)=e^{3x^2}$ soit $v=e^w$ avec $w(x)=3x^2$ donc $w'(x)=6x$ et alors $v'=w'e^w$ soit $w'(x)=6xe^{3x^2}$.
On a alors $f'=u'v+uv'$, soit
\[f'(x)=2e^{3x^2}+2x\times 6xe^{3x^2}=\left( 12x^2+2\right) e^{3x^2}\]


On a $e^{3x^2}>0$ et le premier terme est du second degré de discriminant $\Delta=0-4\tm12\tm2<0$ et n'admet donc aucune racine réelle.
On a donc
\[\begin{tabular}{|c|cccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && &$+\infty$ \\\hline $12x^2+6$ && $+$ &&\\\hline $e^x$ && $+$ &&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &&\\\hline &&&&\\ $g$&&\Large{$\nearrow$}&&\\ &&&&\\\hline \end{tabular}\]


La tangente a pour équation $T_a: y=f'(a)(x-a)+f(a)$, soit avec $a=0$,
$T_0: y=f'(0)(x-0)+f(0)$, donc ici, avec $f'(0)=2e^0=2$ et $f(0)=0$, on trouve l'équation $T_0: y=2x$

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