Sens de variation d'une suite définie par une fonction
Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale
Étudier le sens de variation de la suite
définie par
pour tout entier naturel
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2/1.png)
![$u_n=\dfrac{3n-1}{2-5n}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2/3.png)
Correction
La suite
est définie explicitement par
avec la fonction
définie sur
.
On a
avec
donc
et
donc
.
On a alors
,
soit
.
Comme pour tout
, on a
, on a aussi
,
et donc
est strictement croissante sur
et sur
.
La suite
est donc strictement croissante pour
.
Remarque: on ne sait pas si
est croissante sur
tout entier.
D'ailleurs ici, calculs faits, on s'aperçoit du contraire:
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La suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/1.png)
![$u_n=f(n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/2.png)
![$f:x\mapsto\dfrac{3x-1}{2-5x}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/3.png)
![$\R\setminus\la\dfrac25\ra$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/4.png)
On a
![$f=\dfrac{u}{v}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/5.png)
![$u(x)=3x-1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/6.png)
![$u'(x)=3$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/7.png)
![$v(x)=2-5x$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/8.png)
![$v'(x)=-5$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/9.png)
On a alors
![$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/10.png)
![$f'(x)=\dfrac{3(2-5x)-(3x-1)(-5)}{(2-5x)^2}
=\dfrac{1}{(2-5x)^2}$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/11.png)
Comme pour tout
![$x\not=\dfrac25$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/12.png)
![$(2-5x)^2>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/13.png)
![$f'(x)>0$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/14.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/15.png)
![$\Bigl]-\infty;\dfrac25\Bigr[$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/16.png)
![$\Bigl]\dfrac25;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/17.png)
La suite
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/18.png)
![$n\geqslant 1$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/19.png)
Remarque: on ne sait pas si
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/20.png)
![$\N$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/21.png)
![$u_0=-\frac12>u_1=-\frac23$](/Generateur-Devoirs/1S/Chap9/ex2.2_c/22.png)
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