Intersection d'une courbe de degré 3 et d'une droite avec un paramètre

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par l'expression $f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère du plan.
On note de plus $\mathcal{D}_m$ la droite dont une équation cartésienne est $y-mx-2=0$, où $m$ désigne un nombre réel.

Discuter selon les valeurs de $m$ du nombre de points d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_m$.

Correction
Soit $M(x;y)$ un éventuel point d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_m$, alors $y=f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ et $y-mx-2=0\iff y=mx+2$.
On doit donc avoir $x^3+2x^2-3x+2=mx+2\iff x^3+2x^2-(3+m)x=0\iff x\Bigl(x^2+2x-(3+m)\Bigr)=0$.
Ainsi, soit $x=0$, et $y=f(0)=2$, donc $A(0;2)$ est toujours un point d'intersection, soit $x^2+2x-(3+m)=0$. Ce trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=4+4(3+m)=4(4+m)$ et donc,
  • $\Delta<0\iff m<-4$: le trinôme n'a pas de racine et $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_m$ ont un unique point d'intersection $(A)$.
  • $\Delta=0\iff m=-4$: le trinôme a une unique racine et et $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_m$ ont deux points d'intersection
  • $\Delta>0\iff m>-4$: le trinôme a deux racines distinctes et et $\mathcal{C}$ et $\mathcal{D}_m$ ont trois points d'intersection.


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Tag:2nd degré

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