Etude de fonction, variations, tangentes, ...

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On appelle $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+3}$ , $ a$ et $ b$ désignant deux constantes réelles, et $ \mathcal{C}$ la courbe de $ f$ .

  1. Démontrer que la dérivée de $ f$ s'écrit $ f'(x)=\dfrac{-ax^2-2bx+3a}{(x^2+3)^2}$ .

  2. Déterminer les valeurs de $ a$ et $ b$ pour que $ \mathcal{C}$ passe par le point $ A(1;0)$ et admette en ce point une tangente de coefficient directeur $ \dfrac{3}{2}$ .


    Dans toute la suite, on prendra $ f(x)=\dfrac{6x-6}{x^2+3}$ .

  3. Etudier les variations de $ f$ , et dresser son tableau de variation.

  4. Donner une équation de la tangente $ T$ à la courbe de $ f$ en $ A$ .

  5. Tracer $ T$ et $ \mathcal{C}$ dans le plan muni d'un repère orthogonal d'unité 1 cm en abscisse et 3 cm en ordonnée.

Correction
On appelle $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ f(x)=\dfrac{ax+b}{x^2+3}$ , $ a$ et $ b$ désignant deux constantes réelles, et $ \mathcal{C}$ la courbe de $ f$ .

  1. On a $ f=\dfrac{u}{v}$ , avec $ u(x)=ax+b$ , $ u'(x)=a$ et $ v(x)=x^2+3$ , $ v'(x)=2x$ , et donc,

    $\displaystyle f'(x) =\dfrac{a(x^2+3)-(ax+b)(2x)}{(x^2+3)^2} =\dfrac{-ax^2-2bx+3a}{(x^2+3)^2} $

  2. On veut que $ \mathcal{C}$ passe par $ A(1;0)$ , c'est-à-dire que $ f(1)=0\iff \dfrac{a+b}{4}=0\iff a+b=0$ .

    De plus, le coefficient directeur de la tangente en $ A$ est $ \dfrac{3}{2}$ , c'est-à-dire

    $\displaystyle f'(1)=\dfrac{3}{2} \iff \dfrac{-a-2b+3a}{16}=\dfrac{3}{2} \iff 2a-2b=24 \iff a-b=12 $

    En résumé, on doit avoir $ \left\{\begin{array}{ll} a+b=0\\ a-b=12\end{array}\right.$ .

    En ajoutant et soustrayant ces deux équations, on trouve $ a=6$ et $ b=-6$ , soit $ f(x)=\dfrac{6x-6}{x^2+3}$ .


  3. D'après 1., on a $ f'(x)=\dfrac{-6x^2+12x+18}{(x^2+3)^2} =6\dfrac{-x^2+2x+3}{(x^2+3)^2} $ .

    Le trinôme du second degré au numérateur a pour racines $ x=-1$ et $ x=3$ , et on a alors:

    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ &$-\infty$... ...,0.6)&& \psline{->}(-0.4,0.6)(0.5,-0.3)&\\ &&&-3&&&& \\ \hline \end{tabular}$

  4. En $ A$ , on a $ f'(1)=\dfrac{3}{2}$ , et $ f(1)=0$ , d'où l'équation de la tangente $ T$ à la courbe de $ f$ en $ A$ : $ y=f'(1)(x-1)+f(1)=\dfrac{3}{2}(x-1)$


  5. \begin{pspicture}(-5,-3.5)(5,2) \psline[arrowsize=6pt]{->}(-5,0)(5,0) \psline[... ...3){$A$} \psplot{-0.7}{2.3}{1.5 x 1 sub mul} \rput(2,1.8){$T$} \end{pspicture}



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