Etude d'une fonction rationnelle avec exponentielles

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On considère la fonction $h$ définie par l'expression $h(x)=\dfrac{1+2e^{-x}}{1+e^{-x}}$
Montrer que, pour tout réel $x$, on a $h(x)=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
Étudier alors les variations de $h$.

Correction
On a $h(x)=\dfrac{1+2e^{-x}}{1+e^{-x}}=\dfrac{e^x\lp1+2e^{-x}\right)}{e^x\lp1+e^{-x}\right)}=\dfrac{e^x+2e^0}{e^x+e^0}=\dfrac{e^x+2}{e^x+1}$.
On a $g=\dfrac{u}{v}$ avec $u(x)=e^x+2$, donc $u'(x)=e^x$ et $v(x)=e^x+1$, donc $v'(x)=e^x$.
On obtient alors $g'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ soit $g'(x)=\dfrac{e^x\left( e^x+1\rp-\left( e^x+2\rp e^x}{\left( e^x+1\rp^2} =\dfrac{-e^x}{\left( e^x+1\rp^2}$
De plus, pour tout réel $x$, on a $e^x>0$ et donc $e^x+1>1$ et en particulier $e^x+1\not=0$ et donc $(e^x+1)^2>0$.

\[\begin{tabular}{|c|ccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $+\infty$ \\\hline $-e^x$ && $-$ &\\\hline $\left( e^x+1\rp^2$ && $+$ &\\\hline $g'(x)$ && $-$ &\\\hline &2&&\\ $g$&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&1\\\hline \end{tabular}\]



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