Etude d'une fonction avec racine carrée et TVI

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

On appelle $ f$ la fonction définie sur $ [0;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ .

  1. Montrer que, pour tout $ x>0$ , $ f'(x)=\dfrac{1-x}{2\sqrt{x}(1+x)^2}$ .
  2. Dresser le tableau de variation de $ f$ .

    En déduire que, pour tout réel positif $ x$ , $ 0\leq \sqrt{x}\leq \dfrac{x+1}{2}$ .

  3. Tracer la courbe $ \mathcal{C}$ de $ f$ dans le plan muni d'un repère $ (O;\vec{i},\vec{j})$ d'unité 2cm en abscisse et 5cm en ordonnée.

  4. Montrer que l'équation $ f(x)=\dfrac{1}{10}$ admet une unique solution $ \alpha$ sur $ [0;1]$ .

    Donner un encadrement de $ \alpha$ à $ 10^{-2}$ près.


Correction
On appelle $ f$ la fonction définie sur $ [0;+\infty[$ par $ f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x+1}$ .

  1. Pour tout $ x>0$ , $ f'(x) =\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}(x+1)-\sqrt{x}}{(x+1)^2} =\dfrac{\dfrac{1}... ...Bigl((x+1)-2\sqrt{x}\sqrt{x}\Bigr)}{(x+1)^2} =\dfrac{-x+1}{2\sqrt{x}(x+1)^2} $

  2. Pour tout $ x>0$ , $ (1+x)^2>0$ et $ \sqrt{x}>0$ . Ainsi, $ f'(x)$ est du signe de $ -x+1$ :

    $\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccc\vert}\hline $x$& $0$\ & & ... ... {$\nearrow$} & & \Large {$\searrow$} & \\ &0&& && \\ \hline \end{tabular}$

    D'après le tableau de variation de $ f$ , pour tout $ x\geqslant 0$ , $ 0\leqslant f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{1+x}\leqslant \dfrac{1}{2}$ , d'où, en mulipliant par $ 1+x>0$ ,      $ 0\leqslant \sqrt{x}\leqslant \dfrac{1}{2}(1+x)$ .


  3. \begin{pspicture}(-1,-0.2)(5,1) \psline{->}(-0.5,0)(5,0) \psline{->}(0,-0.2)(0... ... \rput(-0.2,0.5){$\dfrac{1}{2}$} \rput(4,0.45){$\mathcal{C}$} \end{pspicture}

  4. La fonction $ f$ est dérivable sur $ ]0;1]$ , strictement croissante sur $ [0;1]$ avec $ f(0)=0<\frac{1}{10}$ et $ f(1)=\frac{1}{2}>\frac{1}{10}$ .

    Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe un unique réel $ \alpha\in[0;1]$ tel que $ f(\alpha)=\frac{1}{10}$ .

    A l'aide de la calculatrice, on trouve que $ f(0,01)\simeq 0,099<\frac{1}{10}$ et $ f(0,02)\simeq 0,13>\frac{1}{10}$ .

    Ainsi, $ 0,01\leq \alpha < 0,02$ .



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