Etude d'une fonction avec fonction auxiliaire

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Partie A. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ g(x)=x^3+x^2+6$ .

  1. Etudier le sens de variation de $ g$ .
  2. En déduire que l'équation $ g(x)=0$ admet une seule solution sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ et que cette solution, notée $ a$ , est comprise entre $ -3$ et $ -2$ .
  3. Etudier le signe de $ g(x)$ pour $ x\in{\rm I\kern-.1567em R}$ .


Partie B. Soit $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ par $ f(x)=x-1+\dfrac{x^2-3x+2}{x^3}$ .

Montrer que pour tout réel non nul $ x$ , $ f'(x)=\dfrac{(x-1)g(x)}{x^4}$ , et en déduire les variations de $ f$ .


Correction

Partie A. Soit $ g$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ par $ g(x)=x^3+x^2+6$ .

  1. Pour tout $ x$ réel, $ g'(x)=3x^2+2x=x(3x+2)$ .

    $\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$& $-\inft... ...row$} & & \Large {$\nearrow$} &\\ & & & & &$6$\ & &\\ \hline \end{tabular}$

  2. $ g$ est dérivable sur $ [-3;2]$ , et est strictement croissante. On a de plus, $ g(-3)=-12<0$ et $ g(-2)=2>0$ . On en déduit donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, que l'équation $ g(x)=0$ admet une unique solution sur $ [-3;2]$ .

    De plus, d'après le tableau de variation de $ g$ , pour $ x<-3$ , on a $ g(x)<g(-3)<0$ et pour tout $ x>-2$ , $ g(x)>0$ . Ainsi, il n'y a pas d'autre solution à l'équation $ g(x)=0$ en dehors de l'intervalle $ [-3;-2]$ , et l'équation $ g(x)=0$ admet donc une unique solution sur $ {\rm I\kern-.1567em R}$ qui est comprise entre $ -3$ et $ -2$ .

  3. D'après ce qui précède, on a:

    $\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccc\vert}\hline $x$& $-\infty$... ...(x)$\ & & $-$\ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}& $+$\ &\\ \hline \end{tabular}$


Partie B. Soit $ f$ la fonction définie sur $ {\rm I\kern-.1567em R}\setminus\left\{0\right\}$ par $ f(x)=x-1+\dfrac{x^2-3x+2}{x^3}$ .

\begin{displaymath}\begin{array}{ll} \text{Pour tout r\'eel non nul $x$, } f'(x)... ...dfrac{x^4-x^2+6x-6}{x^6} =\dfrac{x^4-x^2+6x-6}{x^4} \end{array}\end{displaymath}

Or, $ (x-1)g(x)=(x-1)(x^2-3x+2)=x^4-x^2+6x-6$ ,

ce qui montre que l'on a bien $ f'(x)=\dfrac{(x-1)g(x)}{x^4}$ .

A l'aide de la partie A, on en déduit alors:

$\displaystyle \begin{tabular}[t]{\vert c\vert ccccccccc\vert}\hline $x$& $-\inf... ...Large {$\searrow$}&&\Large {$\nearrow$}& \\ &&&&&&&0&& \\ \hline \end{tabular}$



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