Diverses équations et inéquations utilisant du 2nd degré (2)

Exercice corrigé - Spécialité maths, première générale

Résoudre sur $\R$ les équations ou inéquations:
a) $2x^2+5x+2=0$

b) $x^2=7x$

c) $-x^2+7x-3=5-2x$

d) $2x^2+5x+2<0$

e) $\dfrac{3x+2}{2x^2+11x-6}\geqslant 0$

f) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2$

Correction
a) $2x^2+5x+2=0$ est un trinôme du 2nd degré de discriminant $\Delta=9=3^2>0$ et admet donc deux racines réelles: $\mathcal{S}=\left\{}\newcommand{\ra}{\right\} -2\,;\,-\dfrac12\ra$
b) $x^2=7x \iff x^2-7x=0 \iff x(x-7)=0$ soit $x=0$ ou $x=7.$
c) $-x^2+7x-3=5-2x \iff x^2-9x+8=0$
$\Delta=49=7^2>0$, donc l'équation admet deux racines réelles distinctes : $x_1=8$ et $x_2=1$.
d) C'est le trinôme du a) qui a deux racines $2$ et $-\dfrac12$. Ce trinôme est donc strictement négatif sur $\mathcal{S}=\Bigl]-2;-\dfrac12\Bigr[$.
e) On cherche le signe du trinôme du dénominateur.
Son discriminant est $\Delta=11^2+4\tm2\tm6=169=13^2>0$.
Le trinôme admet donc deux racines réelles distinctes: $x_1=-6$ et $x_2=\dfrac{1}{2}$.
On peut alors dresser le tableau de signe de cette fraction:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-6$& &$-\frac{2}{3}$& &$\frac{1}{2}$&&$+\infty$ \\\hline $3x+2$& &-& $|$ &-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &+&$|$&+&\\\hline $2x^2+11x-6$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+&\\\hline $\frac{3x+2}{2x^2+11x-6}$ &-& \db&+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&\db&+& \\\hline \end{tabular} \]

On en déduit les solutions de l'inéquation: $\mathcal{S}=\bigr]-6\,;\,-\dfrac{2}{3}\bigr] \cup\bigr]\dfrac{1}{2}\,;\,+\infty\bigl[$
f) $\dfrac{1}{x+2}+\dfrac{3}{x}\leqslant-2 \iff \dfrac{2x^2+8x+6}{x(x+2)}\leqslant0 \iff \dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}\leqslant0$
Le numérateur est un trinôme du second degré de discriminant $\Delta=4=2^2>0$ et admet donc deux racines réelles distinctes $x_1=-3$ et $x_2=-1$. On peut alors dresser le tableau de signes:
\[\begin{tabular}{|c|lcccccccccr|}\hline $x$ & $-\infty$ & &$-3$& &$-2$& &$-1$& &$0$& &$+\infty$ \\\hline $x^2+4x+3$& &+& \zb&-& $|$ &-&\zb&+& $|$ &$+$&\\\hline $x(x+2)$& &+& $|$ &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-&$|$&-& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline $\dfrac{x^2+4x+3}{x(x+2)}$ & &+& \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} &-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} &+&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&-& \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & +&\\\hline \end{tabular} \]

Ainsi, $\mathcal{S}=[-3;-2[\cup[-1;0[$.

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