Source Latex: Exercices de mathématiques, Dérivées des fonctions
Spécialité mathématiques, 1ère générale
Dérivées des fonctions
Cours de mathématiques - Dérivation des fonctions: dérivées et études de fonctions- Fichier
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- Cours de mathématiques - Dérivation des fonctions: dérivées et études de fonctions
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- Spécialité mathématiques, 1ère générale
- Mots clé
- dérivée, dérivation, étude de fonctions, sens de variation, cours de mathématiques, maths, spécialité mathématiques, première générale
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Morel} \date{} \usepackage{fancyhdr} \pagestyle{fancyplain} \setlength{\headheight}{0cm} \renewcommand{\headrulewidth}{0pt} \renewcommand{\footrulewidth}{0.1pt} \lhead{}\chead{}\rhead{} \lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr//Lycee/premiere-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - Spécialité maths - 1ère générale}} \rfoot{\TITLE\ - \thepage/\pageref{LastPage}} \cfoot{} %\definecolor{lightgray}{gray}{0.85} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %\thispagestyle{empty} \vspace*{.3em} \hfill{\Large \bf \TITLE} \hfill\bgmp{5cm} Spécialité mathématiques\\Première générale\enmp \section{\'Echauffements - Rappels} \vspace{-.7cm} \bgex \bgen[a)] \item Rappeler la définition de la courbe représentative de la fonction $f$. Illustrer graphiquement. \item Soit $f$ la fonction définie par l'expression $f(x)=2x^2-x-3$. \bgen[a)] \item Indiquer les points qui appartiennent à $\mathcal{C}_f$: $A(2;5)$, $B(-2;-13)$, $C(5;42)$ et $D(-5;52)$ \item Calculer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées, puis avec l'axe des abscisses. \enen \enen \enex \bgex \bgen[a)] \item Tracer dans un repère les droites d'équations $y=2x-1$ et $y=-x+2$. Calculer les coordonnées de leur point d'intersection. \item Une droite passe par les points $A(2;1)$ et $B(4;3)$. Tracer cette droite et lire graphiquement son coefficient directeur. Déterminer ce coefficient directeur par le calcul. \item Reprendre la question précédente avec la droite qui passe par les points $C(-1;2)$ et $D(3;-1)$. \item Déterminer l'équation réduite de la droite qui passe par les points $E(0;12)$ et $F(3;3)$.\\ Quelles sont les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses ? \item La droite $d$ qui passe par $G(2;3)$ et $H(12;11)$ et la droite $d'$ qui passe par $I(-2;-5)$ et $J(3;-1)$ sont-elles parallèles ? \enen \enex %\vspace*{-0.5cm} \bgex\textbf{Sortie de route}\\ La courbe suivnate est celle d'un circuit automobile sur lequel les véhicules circulent dans le sens horaire inverse (ou sens trigonométrique). Au sud du circuit se trouve une tribune pour les spectateurs.\\ Lorsqu'un pilote perd le contr\^ole de son véhicule, sa trajectoire devient alors rectiligne (et uniforme, cf. physique...). %\vspace{-.8em} \noindent \bgmp{10.5cm} \bgen[a)] \item Un pilote perd le contr\^ole en $A$. Dessiner sa trajectoire ensuite. \item Le point extr\^eme de la tribune est le point $T$.\\ Un autre pilote perd le contr\^ole en $B$. Dessiner sa trajectoire: percute-t-il la tribune ? \item Entre $A$ et $B$ la courbe du circuit est la courbe de la fonction $f(x)=\dfrac1x$. Le point $B$ a pour abscisse $2$ tandis $T$ a pour abscisse $3,5$, $(OT)$ étant l'axe des abscisses. La tribune sera-t-elle épargnée par le véhicule qui a perdu le contr\^ole en $B$. Nous répondrons à cette question, exactement, plus tard\dots Pour l'instant, on note $C$ le point sur le circuit entre $A$ et $B$ et d'abscisse 1. La droite $(CB)$ passe-t-elle par la tribune au sud ? \enen \enmp\quad%\hfill \bgmp{6.1cm} \[\psset{xunit=1.22cm,yunit=1.4cm} \begin{pspicture}(-.6,-1)(6,4.5) %\psline{->} \psplot{.3}{2.5}{1 x div} \pscurve[showpoints=false](.3,3.333)(.36,4)(1,4.5)(2,3)(4,4.3)(6,3)(3.5,.5)(2.5,.4) \psdot[linewidth=2pt](.5,2) \rput(.8,2.2){$A$} \psdot[linewidth=2pt](2,.5) %\psplot{.5}{5}{-0.25 x -2 add mul .5 add} \rput(2.3,.8){$B$} % \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,0)(3.5,0) \psdot[linecolor=red](3.5,0)\rput(3.7,-.3){\red$T$} \psline(.1,-.2)(1.1,-.2)\psline(1.3,-.2)(2.3,-.2)\psline(2.5,-.2)(3.4,-.2) \psline(-.6,-.5)(.4,-.5)\psline(.6,-.5)(1.6,-.5)\psline(1.8,-.5)(2.9,-.5) \psline(.1,-.8)(1.1,-.8)\psline(1.3,-.8)(2.3,-.8)\psline(2.5,-.8)(3.5,-.8) % \psline[linewidth=1pt,linecolor=blue](0,0)(0,2) \rput(-.2,-.1){$O$} \end{pspicture}\] \enmp \enex \hspace{-0.8cm} \bgmp[t]{6.5cm} \bgex On considère le demi-cercle $\mathcal{C}$ de rayon $1$. Tracer les tangentes à $\mathcal{C}$ aux points d'abscisse $-0,5$, $0$, $0,5$ et 1. \psset{unit=2.6cm} \begin{pspicture}(-1.1,-1)(1.3,2) \psline{->}(-1.2,0)(1.2,0) \psline{->}(0,-0.2)(0,1.2) \rput(-0.1,-0.1){$0$} \rput(-0.06,0.92){$1$} \psline(-1,0.05)(-1,-0.05)\rput(-1,-0.15){$-1$} \psline(-0.5,0.05)(-0.5,-0.05) \psline(0.5,0.05)(0.5,-0.05) \psline(1,0.05)(1,-0.05)\rput(1,-0.15){$1$} \psplot{-1}{1}{1 x 2 exp sub sqrt} \rput(-1.05,0.25){$\mathcal{C}$} \end{pspicture} \enex \enmp\psline(0.2,-0.2)(0.2,-10)\hspace{0.3cm} \bgmp[t]{12cm} \bgex La courbe $\Cf$, représentative d'une fonction $f$, est donnée ci-dessous. Construire les tangentes à cette courbe aux points d'abscisses $-5$; $-4$; $0$; $2$, $4$ et $5$. \[ \psset{xunit=0.9cm,yunit=0.6cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-7,-4)(6.5,7.2) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(-6.4,0)(6.4,0) \psline[linewidth=1.4pt]{->}(0,-5.4)(0,7.6) \multido{\i=-5+1}{13}{ \psline[linestyle=dashed](-6.2,\i)(6.2,\i) \rput(-0.3,\i){$\i$} } \multido{\i=-6+1}{13}{ \psline[linestyle=dashed](\i,-5.2)(\i,7.2) \rput(\i,-0.3){$\i$} } \psplot[linewidth=1.2pt,plotpoints=500]{-6.4}{6.3}{ x 180 mul 3.1415 div sin x abs 1.1 exp mul 0.85 mul 1 add } \rput(-6.6,1){$\Cf$} \end{pspicture} \] \enex \enmp \vspace{-.6cm} \section{Nombre dérivé en $a$ d'une fonction} \vspace{-.4cm} \noindent \bgmp{9.cm} \bgex Soit $f$ la fonction carré et $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. On note $A$, $M_1$, $M_2$ et $M_3$ les points de $\Cf$ d'abscisses respectives $1$, $2$, $3$ et $4$. \bgen \item Tracer sur une figure $\Cf$ et placer les points $A$, $M_1$, $M_2$, $M_3$. \item Calculer les coefficients directeurs des droites $(AM_3)$, $(AM_2)$ et $(AM_1)$. \item Soit un nombre réel $h>0$, et $M$ le point de $\Cf$ d'abscisse $1+h$. Donner une expression du coefficient directeur $m_h$ de la droite $(AM)$. \item Compléter le tableau: \[\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline $m_h$ &&&&&& \\\hline \end{tabular} \] \item Que se passe-t-il lorsque $h$ se rapproche de~$0$ ? \enen \enex \enmp\hspace{0.3cm} \bgmp{9cm} \psset{xunit=1.5cm,yunit=0.4cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1.,-2.)(4,16) \psline{->}(-2.2,0)(4.6,0) \psline{->}(0,-6.2)(0,19.6) \multido{\i=0+1}{5}{ \psline[linewidth=0.3pt](\i,-0.1)(\i,0.1) \rput(\i,-0.5){$\i$} } \multido{\i=-4+2}{12}{ \psline[linewidth=0.3pt](-0.1,\i)(0.1,\i) \rput(-0.3,\i){$\i$} } \psplot[linewidth=1.4pt]{-1.5}{4.5}{x 2 exp} \rput(-1.6,1.4){$\Cf$} % \rput(1,1){$\tm$}\rput(0.8,1.6){$A$} % \rput(4,16){$\tm$}\rput(4.3,16){$M_3$} %%\psplot{-0.3}{5}{x 5 mul 4 sub} % \rput(3,9){$\tm$}\rput(3.3,9){$M_2$} %%\psplot{-0.5}{5}{x 4 mul 3 sub} % \rput(2,4){$\tm$}\rput(2.3,4){$M_1$} %%\psplot{-0.8}{5}{x 3 mul 2 sub} \end{pspicture} \enmp \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac12 x^2-3$. \bgen \item Tracer dans un repère orthogonal $\Cf$ et sa tangente au point d'abscisse $a=1$. Déterminer alors graphiquement $f'(1)$. \item \bgen[a)] \item Pour $h>0$, on pose $\tau(h)=\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$. Compléter le tableau: \[\hspace*{-1cm} \begin{tabular}{|c|*6{p{1cm}|}}\hline $h$ & $1$ & $0,5$ & $0,1$ & $0,01$ & $0,001$ & $0,0001$ \\\hline $\tau(h)$ &&&&&& \\\hline \end{tabular} \] Vers quoi semble tendre le nombre $\tau(h)$ lorsque le nombre $h$ tend vers $0$ ? \item Démontrer ce résultat algébriquement à partir de l'expression de $\tau(h)$ et de celle de $f$. \enen \enen \enex \bgex Dans chaque cas, montrer que $f$ est dérivable au point $a$ indiqué, et donner~$f'(a)$. \noindent \begin{tabular}{*3{p{5.5cm}}} $\bullet f_1(x)=\dfrac1x$ en $a=1$ &$\bullet f(x)=\dfrac{1}{1-x}$ en $a=2$ &$\bullet f(x)=x^2-2x$ en $a=2$ \\[.4cm] $\bullet f(x)=x^2-2x$ en $a\in\R$ &$\bullet f(x)=x^3-3x$ en $a=2$ &$\bullet f(x)=x^3-3x$ en $a\in\R$ \end{tabular} \enex \noindent \bgmp{7cm} %\vspace{-4.cm} \bgex $\Cf$ est la courbe représentative d'une fonction $f$. $T_1$, $T_2$ et $T_3$ sont les tangentes à $\Cf$ aux points d'abscisses respectives $-3$, $1$ et~$3$. \medskip Déterminer graphiquement $f'(-3)$, $f'(1)$ et $f'(3)$, puis les équations de $T_1$, $T_2$ et $T_3$. \enex \enmp\hspace{0.5cm} \bgmp{8cm} \[\psset{xunit=.8cm,yunit=.7cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-5.5,-4)(4,7.5) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(-5.5,0)(5.5,0) \psline[linewidth=1.1pt]{->}(0,-3.6)(0,7.5) \multido{\i=-5+1}{11}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](\i,-3.2)(\i,7.3) } \multido{\i=-3+1}{11}{ \psline[linewidth=0.3pt,linestyle=dashed](-5.2,\i)(5.2,\i) } \psplot[linewidth=1.6pt,linecolor=blue]{-4.8}{5.3}{0.25 x 2 exp mul -0.5 x mul add -0.75 add} \rput(5.7,3.4){\blue$\Cf$} % \psplot{-5.5}{5.4}{-1}\rput(-5.9,-0.8){$T_2$} \psplot{-5.2}{0.5}{-2 x mul -3 add}\rput(0.8,-3.6){$T_1$} \psplot{-0.8}{5.1}{x -3 add}\rput(-1.2,-3.6){$T_3$} \end{pspicture}\] \enmp \vspace{-1cm} \section{Fonctions dérivées} \vspace{-.6cm} \bgex Déterminer la fonction dérivée $f'$ de la fonction $f$ dans chacun des cas: \begin{tabular}{llll} a) $f(x)=3$ &b) $f(x)=3x$ &c) $f(x)=\dfrac52 x$ &d) $f(x)=x^2$ \\[0.2cm] e) $f(x)=x^7$ &f) $f(x)=2x^3$ &g) $f(x)=3x+2$ &h) $f(x)=x+\dfrac{1}{x}$ \\[0.2cm] i) $f(x)=-x^2+x-\dfrac72$ &j) $f(x)=\dfrac{2x}{x+1}$ &k) $f(x)=\dfrac{-x^2-x+1}{x+1}$ &l) $f(x)=\dfrac{4}{x}$ \\[0.2cm] m) $f(x)=\dfrac{1}{x^4}$ &n) $f(x)=2x^5+\sqrt{x}$ &o) $f(x)=(3x+2)x^2$ &p) $f(x)=(-2x+1)(x+1)$ \end{tabular} \enex \vspace{-.5em} \section{\'Equation de la tangente} \vspace{-1.3em} \bgex Dans chaque cas, déterminer une équation de la tangente à $\Cf$ au point $a$ donné:\\ a) $f(x)=3x^2+5x-2$ et $a=-2$ \quad b) $f(x)=\dfrac{1}{2}\lp -3+x+x^2\rp$ et $a=4$ \quad c) $f(x)=(2x+1)^2$ et $a=0$ \enex \vspace{-.2em} \bgex $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=-2x^2+4x$, et $\Cf$ est sa courbe représentative. \bgen \item Donner une équation de la tangente $T$ à $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $3$. \item \bgen[a)] \item Etudier le signe de $f(x)-(-8x+18)$. \item En déduire la position relative de $\Cf$ par rapport à $T$. \enen \enen \enex \vspace{-.2em} \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $\R$ et $\Cf$ sa courbe représentative. \bgen \item Montrer que la tangente à $\Cf$ au point $A$ d'abscisse $a$ passe par l'origine du repère si et seulement si $f(a)=af'(a)$. \item Soit $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-3x+1$. Quels sont les points de $\Cf$ en lesquels la tangente passe par l'origine. \enen \enex \bgex Répondre à la question c) de l'exercice 1: la tribune sera-t-elle évitée ? \enex \vspace{-.5cm} \section{Applications de la dérivation} \vspace{-.6cm} \bgex Dresser le tableau de variation des fonctions de l'exercice 5 et des fonctions suivantes: \vspd\noindent \begin{tabular}{llll} q) $f(x)=2x^2+4x-3$ &r) $f(x)=2x^3+3x^2-36x+4$ &s) $f(x)=\dfrac{-2x+1}{x+1}$ &t) $f(x)=\dfrac{3}{x+3}-\dfrac{2}{x+2}$ \end{tabular} \enex \clearpage \bgex $f$ est la fonction définie par l'expression $f(x)=\dfrac{1}{-2x^2+4x-3}$. \bgen \item On définie la fonction $g$ sur $\R$ par l'expression $g(x)=-2x^2+4x-3$. \'Etudier les variations de $g$. \item En déduire les variations de $f$ puis le minimum de $f$ sur $\R$. \enen \enex \bgex $f$ est la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac{x^2+2x+3}{4x^2+1}$. \bgen \item A l'aide de la calculatrice tracer $\Cf$ et localiser le maximum de $f$. \item Vérifier par le calcul s'il s'agit bien d'un maximum de $f$. \enen \enex \bgex Soit $f$ la fonction définie sur $[-10;10]$ par $f(x)=-x^3+6x^2-10$. \vsp Rechercher les éventuels extrema locaux et globaux de $f$. \enex \bgex Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=ax^2+bx+c$, $a\not=0$. Déterminer les coordonnés de l'extremum de $f$. Est-ce un minimum ou un maximum ? \enex \noindent \bgmp{13.3cm} \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-6;4]$. On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: \vspd Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. \enex \enmp\hspace{0.2cm} \bgmp{6cm} \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-6$ & $-2$ & $1$ && $4$ \\\hline &&& 4 &&\\ $f'$ && \psline{->}(-0.5,-0.3)(0.6,0.5)$0$ && \Large{${\searrow}$} &\\ & $-1$ && && 3 \\\hline \end{tabular} \enmp \noindent \bgmp{12.5cm} \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[-4;4]$. On donne le tableau de variation de la fonction $f'$: \vspd Préciser les éventuels extrema locaux de $f$. \enex \enmp\hspace{0.2cm} \bgmp{6cm} \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-4$ && $-1$ && $1$ & $2$ & $4$ \\\hline &&& $0$ && && $3$\\ $f'$ && \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) && \psline{->}(-0.5,0.5)(0.4,-0.2)&& \psline{->}(-0.4,-0.2)(0.5,0.5) $0$&\\ & $-7$ && && $-1$ && \\\hline \end{tabular} \enmp \bgex La consommation $C$ d'un véhicule peut s'exprimer en fonction de la vitesse $v$, pour une vitesse comprise entre 10 km/h et 130 km/h, par l'expression \[ C(v)=0,06v+\dfrac{150}{v}\ . \] \`A quelle vitesse faut-il rouler pour que la consommation soit minimale ? \enex \bgex Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $[-2;5]$ et dont le tableau de variation est le suivant: \[ \begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$ & $-2$ && $1$ && $4$ && $5$ \\\hline &&& 4 &&&& 10\\ $f$ && \Large{${\nearrow}$} && \Large{${\searrow}$} && \Large{${\nearrow}$} & \\ & 1 && && -3 && \\\hline \end{tabular} \] Déterminer le nombre de solutions, et l'intervalle où elles se situent, de l'équation a) $f(x)=0$ \hspace{2cm} b) $f(x)=2$ \hspace{2cm} c) $f(x)=-5$ \enex \bgex On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3+x+1$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution sur $[-3;2]$. Déterminer un encadrement plus précis de cette solution. \enex \bgex On considère la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=x^3-3x-1$. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet exactement trois solutions, respectivement dans les intervalles $]-2;-1[$, $]-1;1[$ et $]1;2[$. Donner un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de la plus grande de ces solutions. \enex \bgex $f$ est la fonction définie sur $\R$ par \ \ $f(x)=4x^2-6x+2$. \noindent Montrer que la courbe $\Cf$ représentative de $f$ est toujours au dessus de n'importe laquelle de ses tangentes. \enex \bgex \bgmp[t]{16.3cm}{\sl On dit que deux paraboles sont tangentes entre elles lorsqu'elles ont un point commun $A$ et une tangente commune en $A$.} \enmp \`A tout nombre $m\not=0$, on associe la parabole $\mathcal{P}_m$ d'équation \ \ $y=mx^2+(1-2m)x+m$. Montrer que toutes ces paraboles sont tangentes entre elles. \enex \label{LastPage} \end{document}
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second degré (équation et inéquation, tableau de signe). Dérivabilité d'une fonction en un point: taux d'accroissement et nombre dérivé (calcul et lecture graphique)
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