Oral du bac: suites, récurrence - géométrie dans l'espace

suites, géométrie dans l'espace

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Suite récurrente bornée

Soit $(u_n)$ la suite défnie par $u_0=1$ et, pour tout entier $n$, $u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Démontrer que, pour tout entier $n$, $0<u_n<2$.
  3. Peut-on en déduire que la suite est convergente ?

Correction exercice 1
  1. $u_1=\sqrt{2+u_0}=\sqrt{3}$ et $u_2=\sqrt{2+u_1}=\sqrt{2+\sqrt3}$
  2. On peut démontrer cette propriété par récurrence.
    Initialisation: La propriété est vraie pour $n=0$ car $0<u_0=1<2$.

    Hérédité: Supposons que la propriété soit vraie à un certain rang $n$, c'est-à-dire que $0<u_n<2$ alors, au rang suivant, on a
    \[\begin{array}{cccccc}&2&<&2+u_n&<&4\\ \iff& \sqrt2&<&\sqrt{2+u_n}&<&\sqrt4\\ \iff& 0<\sqrt2&<&u_{n+1}&<&2\enar\]

    ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang $n+1$ suivant.

    Conclusion: D'après le principe de récurrence, la propriété $0<u_n<2$ est donc vraie pour tout entier $n$.
  3. on vient de démontrer que la suite $(u_n)$ est bornée.
    On ne peut pas en déduire pour autant qu'elle converge, il faudrait, pour utiliser le résultat précédent, aussi connître son sens de variation (cf. théorème de convergence monotone).



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Exercice 2: Géométrie dans l'espace: vrai ou faux

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal, on considère les points $A(2;1;-1)$, $B(-1;2;4)$, $C(0;-2;3)$, $D(1;1;-2)$ et le plan $\mathcal{P}$ d'équation $x-2y+z+1=0$.
Pour chacune des affirmations suivantes, dire, en justifiant, si elle est vraie ou fausse.

  • Affirmation 1: La droite $(AC)$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$.
  • Affirmation 2: Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont orthogonales.

  • Affirmation 3: La droite $(AC)$ a pour représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t\\z=1-4t\enar\right.\,, t\in\R$

  • Affirmation 4: La droite passant par le point $B$ et de vecteur directeur $\vec{u}(1;-1;1)$ est perpendiculaire au plan $\mathcal{P}$.

Correction exercice 2
  • Affirmation 1.
    Les points $A$ et $C$ appartiennent au plan $\mathcal{P}$ car pour le point $A(2;1;-1)$ : $2-2\times 1+(-1)+1=2-2-1+1=0$, et pour le point $C(0;-2;3)$ : $0-2\times 2+3+1=-4+3+1=0$.
    Par conséquent la droite $(AC)$ est incluse dans le plan $\mathcal{P}$: l'affirmation 1 est vraie.

  • Affirmation 2.
    $\overrightarrow{AB}(-3;1;5)$ et $\overrightarrow{CD}(1;3;-5)$, et donc $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=-3+3-25=-25\neq 0$.
    Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ ne sont pas orthogonaux et par conséquent les droites $(AB)$ et $(CD)$ ne sont pas orthogonales non plus.
    L'affirmation 2 est donc fausse.

  • Affirmation 3.
    La représentation paramétrique $\la\begin{array}{l}x=1+2t\\y=-\dfrac{1}{2}+3t \\z=1-4t\enar\right.\, t\in\R$ est celle d'une droite $(d)$.
    On cherche si les points $A$ et $C$ appartiennent à cette droite, ce qui signifierait exactement que $(d)=(AC)$.
    On cherche une valeur de $t$ telle que $\begin{cases} 2=1+2t\\1=-\dfrac{1}{2}+3t\\-1=1-4t\end{cases}$ La solution de ce système est $\dfrac{1}{2}$. Donc le point $A$ appartient à la droite $(d)$.
    On cherche une valeur de $t$ telle que $\begin{cases} 0=1+2t\\-2=-\dfrac{1}{2}+3t\\3=1-4t\end{cases}$
    La solution de ce système est $-\dfrac{1}{2}$. Donc le point $C$ appartient à la droite $(d)$. Les deux points $A$ et $C$ appartiennent à la droite $(d)$. L'affirmation 3 est donc vraie.

  • Affirmation 4.
    Un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est $\vec{n}(1;-2;1)$.
    Les vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{u}(1;-1;1)$ ne sont pas colinéaires.

    L'affirmation 4 est fausse.



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Voir aussi:
ccc