Oral du bac: intégration et géométrie
Exponentielle, intégrales, géométrie dans l'espace
- L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
- La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
- Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.
Exercice 1: Fonction exponentielle, primitive, variations et intégrale
Soit
la fonction définie sur
par l'expression:
.
![$F$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exOral04/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exOral04/2.png)
![$F(x)=xe^{-x}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapIntegration/exOral04/3.png)
- Montrer que
est une primitive de la fonction
définie sur
par
.
Existe-t'il d'autres primitives de la fonction?
- Dresser le tableau de variation de
.
- Calculer
.
Correction exercice 1
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-
est une primitive de
signifie que
: il faut donc calculer la dérivée de
.
est un produit de deux fonctions:
, avec
, donc
, et
, donc
.
On a alors,, soit
.
Ainsi,est bien une primitive de
.
L'ensemble des primitives deest donc l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme
, où
est un réel quelconque.
- Les variations de
sont données par le signe de sa dérivée
.
On peut compléter avec les limites:- en
, il n'y a pas de problème particulier:
, et donc, par produit des limites,
- en
on est face à une forme indéterminée "
".
Il s'agit en fait de la propriété de croissances comparéeset donc
- en
- Comme
est une primitive de
, on
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Exercice 2: Intersection et distance entre un plan (équation cartésienne) et une droite (représentée paramétriquement)
Dans l'espace muni du repère orthonormal
on considère le plan
d'équation
ainsi que le point
.
![$\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral01/1.png)
![$P$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral01/2.png)
![$x+y+z-3=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral01/3.png)
![$M(2;-3;1)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/exOral01/4.png)
- Le point
est-il dans le plan
?
- Donner une représentation paramétrique de la droite
passant par
et orthogonale à
.
- Déterminer les coordonnées du point
intersection de
et
.
- En déduire la distance du point
au plan
.
Correction exercice 2
Cacher la correction
-
donc
.
-
est un vecteur normal de
, la droite
passant par
et orthogonale à
admet donc comme représentatation paramétrique:
- Comme
, il existe un réel
tel que
ait pour coordonnées
Comme de plus
, ses coordonnées vérifient l'équation de
donc
, soit
et donc
.
On a ainsi.
- La distance du point
au plan
est
. Comme
, on a donc
.
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Voir aussi: