Oral du bac: intégration et géométrie

Exponentielle, intégrales, géométrie dans l'espace

  • L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
  • La qualité des raisonnements, de l'expression, et la précision des justifications prendront une part importante dans l'appréciation de l'interrogation orale.
  • Il s'agit d'une épreuve orale: il n'est pas indispensable de rédiger l'ensemble des réponses, des calculs, du raisonnement …
    Par contre vous devez être en mesure d'apporter toutes les justifications nécessaires.
    L'exposé de la méthode et du raisonnement sera pris en compte.

Exercice 1: Fonction exponentielle, primitive, variations et intégrale

Soit $F$ la fonction définie sur $\R$ par l'expression: $F(x)=xe^{-x}$.
  1. Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=(1-x)e^{-x}$.
    Existe-t'il d'autres primitives de la fonction $f$ ?
  2. Dresser le tableau de variation de $F$.
  3. Calculer $\dsp\int_0^1 (1-x)e^{-x}\,dx$.

Correction exercice 1
  1. $F$ est une primitive de $f$ signifie que $F'=f$: il faut donc calculer la dérivée de $F$.
    $F$ est un produit de deux fonctions: $F=uv$, avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$, et $v(x)=e^{-x}=e^{w(x)}$, donc $v'(x)=w'(x)e^{w(x)}=-e^{-x}$.
    On a alors, $F'=u'v+uv'$, soit $F'(x)=1\times e^{-x}+x\lp-e^{-x}\rp=(1-x)e^{-x}=f(x)$.
    Ainsi, $F$ est bien une primitive de $f$.
    L'ensemble des primitives de $f$ est donc l'ensemble des fonctions qui s'écrivent sous la forme $F+k$, où $k$ est un réel quelconque.
  2. Les variations de $F$ sont données par le signe de sa dérivée $F'=f$.

    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline
  $x$&$-\infty$&&1&&$+\infty$\\\hline
  $1-x$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline
  $e^{-x}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline
  $(1-x)e^{-x}$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline
  &&&$e^{-1}$&&\\
  $F$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\
  &$-\infty$&&&&$0$\\\hline
  \end{tabular}\]

    On peut compléter avec les limites:
    • en $-\infty$, il n'y a pas de problème particulier: $\dsp\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=+\infty$, et donc, par produit des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}F(x)=-\infty$
    • en $+\infty$ on est face à une forme indéterminée "$\infty\tm0$".
      Il s'agit en fait de la propriété de croissances comparées $\dsp\lim_{x\to\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ et donc
      \[\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to\infty}\dfrac{x}{e^x}
    =\lim_{x\to\infty}\dfrac1{\frac{e^x}{x}}=0\]


  3. Comme $F$ est une primitive de $f$, on
    \[\int_0^1 f(x)dx=F(1)-F(0)=1e^{-1}-0e^{-0}=\dfrac1e\]




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Exercice 2: Intersection et distance entre un plan (équation cartésienne) et une droite (représentée paramétriquement)

Dans l'espace muni du repère orthonormal $\left( O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}\rp on considère le plan $P d'équation $x+y+z-3=0 ainsi que le point $M(2;-3;1).
  1. Le point $M est-il dans le plan $P ?
  2. Donner une représentation paramétrique de la droite $D passant par $M et orthogonale à $P.
  3. Déterminer les coordonnées du point $H intersection de $D et $P.
  4. En déduire la distance du point $M au plan $P.

Correction exercice 2
  1. $x_M + y_M + z_M - 3 = 2 - 3 + 1 - 3 = -3 \not= 0 donc $M\notin P.
  2. $\vec{n} (1; 1; 1) est un vecteur normal de $P, la droite $D passant par $M et orthogonale à $P admet donc comme représentatation paramétrique: $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right.
  3. Comme $H\in D, il existe un réel $t tel que $H ait pour coordonnées $\la\begin{array}{ll} x&=2+t\\ y&=-3+t \\ z&=1+t \enar\right..
    Comme de plus $H\in P, ses coordonnées vérifient l'équation de $P donc $x + y + z - 3 =2+t-3+t+1+t-3 = 0, soit $3t - 3 = 0 et donc $t = 1.
    On a ainsi $H(3; -2; 2).
  4. La distance du point $M au plan $P est $HM. Comme $\overrightarrow{HM} (-1; -1; -1), on a donc $HM = \sqrt{3}.



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Voir aussi:
ccc