Une petite récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la suite
définie par:
et, pour tout entier naturel,
.
Démontrer que, pour tout entier naturel
,
.
![$\left( u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec/1.png)
![$u_0=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec/2.png)
![$u_{n+1}=2+3u_n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec/3.png)
Démontrer que, pour tout entier naturel
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec/4.png)
![$u_n=3^n-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec/5.png)
Correction
On note, pour tout entier naturel
,
.
Initialisation: Pour
, on a
, et
.
Ainsi, initialement au rang
,
est vraie.
Hérédité: Supposons que pour un certain entier
,
est vraie,
c'est-à-dire que
, alors,
![\[\begin{array}{ll}
u_{n+1}&=2+3u_n\\
&=2+3\lp3^n-1\rp\\
&=2+3^{n+1}-3\\
&=3^{n+1}-1
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/11.png)
ce qui montre que
est encore vraie.
Conclusion: On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel
,
.
Cacher la correction
On note, pour tout entier naturel
![$n\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/1.png)
![$\mathcal{P}_n: u_n=3^n-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/2.png)
Initialisation: Pour
![$n=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/3.png)
![$u_0=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/4.png)
![$3^0-1=1-1=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/5.png)
Ainsi, initialement au rang
![$n=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/6.png)
![$\mathcal{P}_0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/7.png)
Hérédité: Supposons que pour un certain entier
![$n\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/8.png)
![$\mathcal{P}_n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/9.png)
![$u_n=3^n-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/10.png)
![\[\begin{array}{ll}
u_{n+1}&=2+3u_n\\
&=2+3\lp3^n-1\rp\\
&=2+3^{n+1}-3\\
&=3^{n+1}-1
\enar\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/11.png)
ce qui montre que
![$\mathcal{P}_{n+1}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/12.png)
Conclusion: On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/13.png)
![$u_n=3^n-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exrec_c/14.png)
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