Une petite récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $\left( u_n\rp$ définie par: $u_0=0$ et, pour tout entier naturel, $u_{n+1}=2+3u_n$.
Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n-1$.

Correction
On note, pour tout entier naturel $n\geqslant1$, $\mathcal{P}_n: u_n=3^n-1$.
Initialisation: Pour $n=0$, on a $u_0=0$, et $3^0-1=1-1=0$.
Ainsi, initialement au rang $n=0$, $\mathcal{P}_0$ est vraie.

Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n\geqslant1$, $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire que $u_n=3^n-1$, alors,

\[\begin{array}{ll} u_{n+1}&=2+3u_n\\ &=2+3\lp3^n-1\rp\\ &=2+3^{n+1}-3\\ &=3^{n+1}-1 \enar\]

ce qui montre que $\mathcal{P}_{n+1}$ est encore vraie.

Conclusion: On a donc montré, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier naturel $n$, $u_n=3^n-1$.

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