Trigonométrie: fonction tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit

la fonction tangente, définie sur $$I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$ par $$f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

Montrer que, pour tout $$x\in I$ , $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ et que $$f'(x)=1+\tan^2(x)$ .
Exprimer, pour tout $$x\in I$ , $$\tan\left( \pi-x\rp$ puis $$\tan\left( x+\dfrac{\pi}{2}\rp$ en fonction de $$\tan(x)$ .

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