Trigonométrie: fonction tangente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit

la fonction tangente, définie sur $$I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$ par $$f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

Montrer que, pour tout $$x\in I$ , $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ et que $$f'(x)=1+\tan^2(x)$ .
Exprimer, pour tout $$x\in I$ , $$\tan\left( \pi-x\rp$ puis $$\tan\left( x+\dfrac{\pi}{2}\rp$ en fonction de $$\tan(x)$ .

Correction
Soit

la fonction tangente, définie sur $$I=\Bigl[0;\dfrac{\pi}{2}\Bigr[$ par $$f(x)=\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ .

On a $$f=\dfrac{u}{v}$ , avec $$\la\begin{array}{l}u(x)=\sin(x)\\v(x)=\cos(x)\enar\right.$ , donc $$\la\begin{array}{l}u'(x)=\cos(x)\\v'(x)=-\sin(x)\enar\right.$ , et alors, $$f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ ,
soit $$f'(x)=\dfrac{\cos(x)\cos(x)-\sin(x)\lp-\sin(x)\rp}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}$ .
Comme, pour tout réel , $$\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$ , on a alors $$f'(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}$ .
On peut aussi écrire $$f'(x)=\dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=\dfrac{\cos^2(x)}{\cos^2(x)}+\dfrac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)}=1+\lp\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}\rp^2=1+\tan^2(x)$ .
Pour tout réel , on a $$\cos(\pi-x)=-\cos(x)$ et $$\sin(\pi-x)=\sin(x)$ .
Ainsi, pour tout $$x\in I$ , $$\tan(\pi-x)=\dfrac{\sin(\pi-x)}{\cos(\pi-x)}=\dfrac{\sin(x)}{-\cos(x)}=-\tan(x)$ .
De même, pour tout réel , on a $$\cos\left( x+\dfrac\pi2\rp=-\sin(x)$ et $$\sin\left( x+\dfrac\pi2\rp=\cos(x)$ .
Ainsi, pour tout $$x\in I$ , $$\tan\left( x+\dfrac\pi2\rp=\dfrac{\sin\left( x+\dfrac\pi2\rp}{\cos\left( x+\dfrac\pi2\rp}=\dfrac{-\cos(x)}{\sin(x)}=-\dfrac{1}{\tan(x)}$ .

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