Taux de vasopressine dans le sang

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Taux de vasopressine
La vasopressine est une hormone favorisant la réabsorption de l'eau par l'organisme. Le taux de vasopressine dans le sang est considéré normal s'il est inférieur à $2,5\,\mu\text{g/mL}$.
Cette hormone est sécrétée dès que le volume sanguin diminue. En particulier, il y a production de vasopressine suite à une hémorragie.
On utilisera dans la suite la modélisation suivante: $f(t)=3t\,e^{-\frac{t}4} + 2$, avec $t\geqslant0$.
où $f(t)$ représente le taux de vasopressine (en $\mu\text{g/mL}$) dans le sang en fonction du temps t (en minute) écoulé après le début d'une hémorragie.
    1. Quel est le taux de vasopressine dans le sang à l'instant $t=0$ ?
    2. Justifier que douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine dans le sang n'est pas normal.
    3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. On pourra poser $T=-\dfrac{t}4$.
      Interpréter ce résultat.
  2. Vérifier que pour tout nombre réel $t$ positif: $f'(t)=\dfrac34(4-t)e^{-\frac{t}4}$.
    1. Étudier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ et dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
    2. À quel instant le taux de vasopressine est-il maximal ?
      Quel est alors ce taux ? On en donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
    1. Démontrer qu'il existe une unique valeur $t_0\in [0 ; 4]$ telle que $f(t_0)=2,5$.
      Donner un encadrement à $10^{-3}$ près de $t_0$.
    2. On admet qu'il existe une unique valeur $t_1\in[4 ; +\infty[$ vérifiant $f(t_1)=2,5$.
      On en donne une valeur approchée: $t_1\simeq 18,930$.
      Déterminer pendant combien de temps, à la seconde près, chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste supérieur à $2,5\,\mu\text{g/mL}$ dans le sang.
    1. Déterminer l'équation la tangente $T_0$ en $t=0$ de la courbe $\mathcal{C}_f$
    2. Tracer dans un repère la courbe $\mathcal{C}_f$, avec sa tangente $T_0$ ainsi que ses asymptotes éventuelles.

Correction
    1. À l'instant $t=0$, le taux de vasopressine dans le sang est $f(0)=2\,\mu\text{g/mL}$.
    2. Douze secondes après une hémorragie, le taux de vasopressine est $f(12)\simeq 3,79 > 2,5$, et ce taux n'est donc pas normal.
    3. Déterminer la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. Soit $T=-\dfrac{t}4 \iff t=-4T$, et alors $t\to+\infty\iff T\to-\infty$, et avec ce changement de variable, on a $f(x)=-12Te^T+2$.
      On a alors, par croissances comparées, $\dsp\lim_{T\to-\infty}Te^T=0$ et alors, $\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)=2$.
      On en déduit que la droite $y=2$ est asymptote horizontale à $\mathcal{C}_f$ en $+\infty$, c'est-à-dire aussi que le taux de vasopressine tend, "longtemps" après l'hémorragie vers sa valeur normale de $2\,\mu\text{g/mL}$.
  2. On a $f=uv+2$, avec $u(t)=3t$ donc $u'(t)=3$, et $v=e^w$ avec $w=-t/4$ donc $w'=-1/4$ et alors $v'=w'e^w$ soit $v'(t)=-\dfrac14\,e^{-t/4}$.
    On obtient alors $f'=u'v+uv'+0$, soit $f'(t)=3e^{-t/4}-\dfrac{3t}4e^{-t/4}=\dfrac34(4-t)e^{-t/4}$.
    1. On en déduit alos le tableau de signe et de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $t$ & 0 &&4&&$+\infty$\\\hline $4-t$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline $e^{-t/4}$&&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(t)$&&$+$&\zb&$-$&\\\hline &&&$\frac{12}e+2$&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &2&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    2. Le taux de vasopressine est-il maximal à $t=4\,\text{min}$, avec $f(4)=12e^{-1}+2=\dfrac{12}e+2\simeq6,41\,\mu\text{g/mL}$.
    1. Sur $[0 ; 4]$, $f$ est continue, strictement croissante, avec $f(0)=2<2,5$ et $f(4)\simeq6>2,5$.
      On en déduit, d'après le théorème de la bijection (ou théorème des valeurs intermédiaires) que l'équation $f(t)=2,5$ admet une unique solution $t_0\in[0;4]$.

      On trouve, à $10^{-3}$, $0,174<t_0<0,175$.
    2. On admet qu'il existe une unique valeur $t_1\in[4 ; +\infty[$ vérifiant $f(t_1)=2,5$.
      On en donne une valeur approchée: $t_1\simeq 18,930$.
      Déterminer pendant combien de temps, à la seconde près,
      Chez une personne victime d'une hémorragie, le taux de vasopressine reste donc supérieur à $2,5\,\mu\text{g/mL}$ dans le sang pendant $t_1-t_0\simeq 18,930-0,174=18,756$, soit environ 18 min et 45 s.
    1. Une équation la tangente $T_0$ en $t=0$ est $y=f'(0)(t-0)+f(0)$, avec $f'(0)=\dfrac34(4-0)e^0=3$, et $f(0)=2$, et donc l'équation $T_0: y=3t+2$.


    2. \[\psset{arrowsize=8pt,yunit=1cm,xunit=.4cm} \begin{pspicture*}(-1,-1)(30,8) \psline{->}(-1,0)(30,0) \psline{->}(0,-.5)(0,8) \rput[r](-.2,-.3){0} \psplot[plotpoints=200,linewidth=1.6pt]{0}{30}{3 x mul 2.718 x -4 div exp mul 2 add}\rput(13,4){$\mathcal{C}_f$} \psline(-.5,2)(.5,2)\rput[r](-.5,2){2} \psline[linestyle=dashed](4,0)(4,6.41)(0,6.41) \rput(4,-.3){4} \psline[linecolor=blue](-1,2)(30,2)\rput(12,1.7){\blue$y=2$} \psplot[linecolor=red]{-1}{3}{3 x mul 2 add}\rput(2.9,7.6){\red$T_0$} \psline[linecolor=red]{<->}(1,6.41)(7,6.41) \end{pspicture*}\]



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