Suite récurrente et limite par encadrement

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et $\displaystyle u_{n+1}=u_n+\frac{1+u_n}{1+2u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Soit $f$ la fonction telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
    Donner l'expression de $f$ et étudier son sens de variation.
  3. On admet que pour tout entier $n$, $u_n\geq 0$.
    1. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
    2. Soit la fonction $\displaystyle g:x\mapsto \frac{1+x}{1+2x}$.
      Dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer le minimum de $g$ sur $\R^+$. En déduire que, pour tout entier $n$,   $\displaystyle u_{n+1}>u_n+\frac{1}{2}$.
    3. Déduire de l'inégalité précédente que, pour tout entier $n$,   $\displaystyle u_n>1+\frac{n}{2}$.
      Déterminer alors la limite de $(u_n)$.

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