Suite récurrente et limite par encadrement

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=1$ et $\displaystyle u_{n+1}=u_n+\frac{1+u_n}{1+2u_n}$.
  1. Calculer $u_1$ et $u_2$.
  2. Soit $f$ la fonction telle que $u_{n+1}=f(u_n)$.
    Donner l'expression de $f$ et étudier son sens de variation.
  3. On admet que pour tout entier $n$, $u_n\geq 0$.
    1. Montrer que $(u_n)$ est strictement croissante.
    2. Soit la fonction $\displaystyle g:x\mapsto \frac{1+x}{1+2x}$.
      Dresser le tableau de variations de $g$ et déterminer le minimum de $g$ sur $\R^+$. En déduire que, pour tout entier $n$,   $\displaystyle u_{n+1}>u_n+\frac{1}{2}$.
    3. Déduire de l'inégalité précédente que, pour tout entier $n$,   $\displaystyle u_n>1+\frac{n}{2}$.
      Déterminer alors la limite de $(u_n)$.

Correction
La suite $(u_n)$ est définie par son premier terme $u_0=1$ et la relation de récurrence $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1+u_n}{1+2u_n}$.
  1. $u_1=u_0+\dfrac{1+u_0}{1+2u_0}=\dfrac53$  ,    $u_2=\dfrac53+\dfrac{\frac{8}{3}}{\frac{13}{3}} =\dfrac{5}{3}+\frac{8}{13} =\dfrac{89}{39}$.
  2. $f$ est la fonction définie par l'expression $f(x)=x+\dfrac{1+x}{1+2x}=\dfrac{2x^2+2x+1}{1+2x}$.
    $f$ est une fraction rationnelle, donc dérivable sur son ensemble de définition $D=\R\setminus\la-\dfrac12\ra$, et, pour tout $x\in D$,
    $\begin{array}{ll} f'(x) &=\dfrac{(4x+2)(1+2x)-(2x^2+2x+1)2}{(1+2x)^2} \\ &=\dfrac{4x^2+4x}{(1+2x)^2} \\[.4em] &=4x\dfrac{x+1}{(1+2x)^2}\enar$

    $${|c|p{0.2cm}*6{p{0.3cm}}p{0.1cm}p{0.55cm}|}\hline $x$ &$-\infty$ && $-1$ && $-\frac{1}{2}$ && $0$ && $+\infty$ \\\hline $4x$ && $-$ &$|$& $-$ &$|$ & $-$ &\zb&$+$ & \\\hline $x+1$ &&$-$ &\zb& $+$ &$|$ & $+$ &$|$&$+$ &\\\hline $(1+2x)^2$ && $+$ &$|$ & $+$ &\db&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ &\db&$-$&\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}&$+$&\\\hline $f$ && \Large{$\nearrow$} && \Large{$\searrow$} &\psline[linewidth=0.5pt](0,-0.15)(0,0.35) \psline[linewidth=0.5pt](0.1,-0.15)(0.1,0.35) &\Large{$\searrow$} && \Large{$\nearrow$}& \\\hline $$


    1. On a pour tout entier $n$, $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+u_n}{1+2u_n}$.
      Or, comme $u_n\geq 0$, $1+u_n\geq1>0$ et $1+2u_n\geq 1>0$, d'où $u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1+u_n}{1+2u_n}>0$, et donc, $(u_n)$ est strictement croissante.
    2. $g$ est une fonction rationnelle donc dérivable sur son ensemble de définition $D=\R\setminus\la-\dfrac{1}{2}\ra$, et, pour tout $x\in D$,
      $\begin{array}{ll} g'(x) &=\dfrac{(1+2x)-(1+x)2}{(1+2x)^2}\\[.4em] &=\dfrac{-1}{(1+2x)^2}<0\enar$

      $${|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-\frac{1}{2}$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ & \mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $f$ && \Large{$\searrow$} &\psset{unit=1cm} \psline[linewidth=.5pt](0,-0.15)(0,0.35) \psline[linewidth=.5pt](0.05,-0.15)(0.05,0.35)& \Large{$\searrow$}&\\\hline $$


      $g$ est une fraction rationnelle, et donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x}{2x}=\dfrac{1}{2}$.
      On en déduit, à l'aide du tableau de variations, que pour tout $x\geq 0$ ,  $\displaystyle g(x)>\frac{1}{2}$.
      Or, pour tout entier $n$, $u_n\geq 0$ et $u_{n+1}-u_n=\dfrac{1+u_n}{1+2u_n}=g(u_n)> \dfrac12$,
      d'où, pour tout entier $n$,  $\displaystyle u_{n+1}>u_n+\frac{1}{2}$.
    3. D'après l'inégalité précédente, pour tout entier $n$,
      \[\begin{array}{ll}u_n&>u_{n-1}+\dfrac12\\ &>\left( u_{n-2}+\dfrac12\rp+\dfrac12\\ &=u_{n-1}+2\tm\dfrac12\enar\]


      et on poursuit de même,
      \[\begin{array}{ll}u_n&>u_{n-2}+2\tm\dfrac12\\ &>\left( u_{n-3}+\dfrac12\rp+2\tm\dfrac12\\ &=u_{n-3}+3\tm\dfrac12\\ &>\ \dots\ \\ &>u_0+n\tm\frac12 =1+\dfrac{n}{2}\enar\]


      Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp1+\dfrac{n}2\rp=+\infty$, par le théorème d'encadrements, on en déduit que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.


Cacher la correction


Tag:Suites

Autres sujets au hasard: Lancer de dés

Voir aussi:

Quelques devoirs

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, suite auxiliaire géométrique

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet A
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions - Sujet B
    sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, construction géométrique des premiers termes d'une suite récurrente, convergence monotone et point fixe

    Devoir corrigé
    Suites et fonctions
    maison sur les fonctions: calcus de dérivées et sens de variation, et les suites: démonstration par récurrence, suite auxiliaire arithmétique, convergence monotone et point fixe


LongPage: h2: 1 - h3: 0