Suite définie par récurrence et suite intermédiaire géométrique

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+4$
On pose, pour tout entier naturel $n$, $v_n=u_n-6$.
  1. Pour tout nombre entier naturel $n$, calculer $v_{n+1}$ en fonction de $v_n$.
    Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ ?
  2. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Etudier la convergence de la suite $(u_n)$.

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