Suite de fonctions et d'intégrales, IPP

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Sont représentées ci-contre les fonctions définies sur l'intervalle par

pour différentes valeurs de .
1. Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite en expliquant la démarche.
2. Démontrer cette conjecture.
1. Montrer que pour tout entier et pour tout nombre réel de l'intervalle [0~;~1] :
2. Montrer que les suites et sont convergentes et déterminer leur limite.
1. Montrer, en effectuant une intégration par parties, que pour tout entier :
2. En déduire .

Correction

1. Les fonctions représentées sont positives ; représente donc l'aire de la surface limitée par le représentation de , l'axe des abscisses et les droites d'équations et . Le dessin suggère que la suite est décroissante.
2. .
  Or (par croissance de la fonction exponentielle) . En multipliant chaque membre de cette dernière inégalité par , on obtient:
  , soit finalement: .
  Par intégration sur l'intervalle [0~;~1] des fonctions continues et :
  : la suite est décroissante.
1. et par produit par le nombre positif , on obtient: .
  D'autre part on sait que pour , on a
  et par produit par le nombre positif , on obtient: .
  Enfin on a , donc finalement :
2. Par intégration sur l'intervalle des inégalités précédentes on obtient
  soit encore:
  c'est à dire: .
  Or , donc .
  On peut donc conclure, d'après le théorème des gendarmes, que les suites et convergent vers .
1. Posons
  Toutes ces fonctions sont continues car dérivables sur ; en intégrant par parties on a donc:
  ;
  ou encore
2. Le résultat précédent peut s'écrire en multipliant par :
  .
  Comme , on a donc :
  
  Remarque : on a donc pour assez grand .
  Exemple : pour , la calculatrice donne .

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Tags:Intégrales Suites Exponentielle

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