Révisions de géométrie dans le plan

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(-2;2)$ et $B(4;1)$, et la droite $D$ d'équation $x+y+4=0$.
  1. Donner une équation cartésienne de la droite $(AB)$.
  2. Donner une équation cartésienne de la droite $d_1$ parallèle à $D$ et passant par $A$.
  3. Donner une équation cartésienne de la droite $d_2$ perpendiculaire à $D$ et passant par $B$.
  4. Déterminer les coordonnées du point $I$, intersection des droites $d_1$ et $d_2$.

Correction
Dans le plan rapporté à un repère orthonormal $(O;\vec{i},\vec{j})$, on considère les points $A(-2;2)$ et $B(4;1)$, et la droite $D$ d'équation $x+y+4=0$.
  1. On a $M(x;y)\in(AB)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{AB}$ colinéaires, et donc, avec $\overrightarrow{AB}(6;-1)$ et $\overrightarrow{AM}(x+2;y-2)$, d'où
    \[\begin{array}{ll}M(x;y)\in(AB)&\iff 6(y-2)-(-1)(x+2)=0\\[.3em] &\iff x+6y-10=0\enar\]

  2. Un vecteur normal à $D$ est $\vec{n}(1;1)$ qui est aussi un vecteur normal de $d_1$, et donc
    \[\begin{array}{ll}M(x;y)\in d_1&\iff \overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}_1=0\\[.3em] &\iff1(x+2)+1(y-2)=0\\[.3em] &\iff x+y=0\enar\]

  3. $\vec{n}(1;1)$ est maintenant un vecteur directeur de $d_2$, et $M(x;y)\in d_2$ si et seulement si $\overrightarrow{BM}(x-4;y-1)$ et $\vec{n}$ sont colinéaires, soit
    \[1(x-4)-1(y-1)=0\iff x-y-3=0\]

  4. On a
    \[I\in d_1\cap d_2\iff\la\begin{array}{ll}x+y=0\\x-y-3=0\enar\right.\]

    En ajoutant ces deux équations on obtient $2x-3=0$, soit $x=3/2$, puis avec la première, $y=-3/2$.
    Finalement, on a obtenu $I\left( 3/2;-3/2\rp$.


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