Publicité incitative

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La publicité d'un jeu annonce que la probabilité de gagner est de une chance sur 50 et "ainsi, que tout joueur tentant sa chance régulièrement chaque semaine gagne en moins d'un an !".
  1. Calculer la probabilité pour un tel joueur, jouant donc régulièrement chaque semaine pendant un an, de gagner au moins une fois à ce jeu.
    Que penser de cette publicité ?
  2. Combien de semaines consécutives devrais-je jouer pour avoir une probabilité de gagner au moins une fois supérieure à 99% ?

Correction
  1. On répète $n=52$ fois (52 semaines dans une année) l'expérience aléatoire "jouer à ce jeu", dont le succès est d'y gagner avec la probabilité $p=1/50=0,02$. On peut raisonnablement supposer ces répétitions identiques et indépendantes, et on note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de succès.
    On sait alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=52$ et $p=0,02$, et donc que la probabilité de gagner au moins une fois est
    \[P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,98^{52}\simeq 0,65 = 65\%\]

    La probabilité de gagner en moins d'un an est au plus de 65%, et donc tout joueur ne gagne pas en moins d'un an: l'annonce est fausse.
  2. On cherche cette fois le nombre $n$ de jours. De même que précédemment, $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p=0,02$, et la probabilité de gagner au moins une fois en $n$ jours est
    \[P(X\geq1)=1-P(X=0)=1-0,98^n\]

    On cherche donc $n$ tel que
    \[\begin{array}{rl}P(X\geq1)=1-0,98^n\geq0,99 \iff&0,98^n\leq1-0,99=0,01\\ \iff&n\ln(0,98)\leq\ln(0,01)\\ \iff&n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\enar\]

    car $\ln(0,98)<0$.
    On trouve donc
    \[n\geq\dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,98)}\simeq227,9\]

    et donc, il faudrait jouer au moins $n=228$ semaines consécutives, soit environ quatre ans et demi.


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