Position relative, convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-2x+1}$, et la droite $d$ d'équation $y=-2x+2$.
On cherche à déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ et de la droite $d$.
  1. On note $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x)=e^{-2x+1}+2x-2$.
    1. Montrer que la fonction $\varphi$ est convexe sur $\R$.
    2. Donner une équation de la tangente à la courbe de $\varphi$ au point d'abscisse $\dfrac12$.

  2. En utilisant les résultats précédents, donner le signe de $\varphi(x)$.
  3. Dresser le tableau de variation de $\varphi$, puis retrouver le résultat de la question précédente.
  4. Conclure.

Correction
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=e^{-2x+1}$, et la droite $d$ d'équation $y=-2x+2$.
On cherche à déterminer la position relative de la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative de $f$ et de la droite $d$.
  1. On note $\varphi$ la fonction définie sur $\R$ par $\varphi(x)=e^{-2x+1}+2x-2$.
    1. On a $\varphi'(x)=-2e^{-2x+1}+2$, puis $\varphi''(x)=4e^{-2x+1}>0$, d'où$\varphi$ est convexe sur $\R$.
    2. Une équation de la tangente à la courbe de $\varphi$ au point d'abscisse $\dfrac12$ est
      \[T:y=\varphi'\lp\dfrac12\rp\lp x-\dfrac12\rp+\varphi\lp\dfrac12\rp\]

      avec $\varphi'(1/2)=-2e^+2=0$ et $\varphi(1/2)=e^0+1-2=0$, on trouve donc l'équation $T: y=0$.

  2. Comme $\varphi$ est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier au-dessus de $T$, ce qui s'écrit aussi que $\varphi(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$.
    En d'autres termes, $\varphi(x)$ est positif sur $\R$.
  3. On a vu que $\varphi'(x)=-2e^{-2x+1}+2$, et donc
    \[\begin{array}{ll}\varphi'(x)>0\iff-2e^{-2x+1}+2>0\\ \iff -2e^{-2x+1}>-2\\ \iff e^{-2x+1}<1=e^0\\ \iff -2x+1<0\enar\]

    car $\exp$ est strictement croissante sur $\R$, et on obtient donc finalement
    \[\varphi'(x)>0\iff x>1/2\]

    d'où le tableau de variation
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$1/2$&&$+\infty$\\\hline $\varphi'(x)$ && $-$&0&$+$&\\\hline &&&&&\\ $f$ &&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\]

    avec le minimum $\varphi(0)=0$.
    On retrouve ainsi que $\varphi(x)\geqslant0$ pour tout réel $x$, c'est-à-dire que $\varphi$ est positive.
  4. Comme on a $\varphi(x)=f(x)-y=e^{-2x+1}-\bigr(2x+2\bigr)$, le signe de $\varphi$ nous donne la position relative de la courbe de $f$ et de la droite $d$: $\mathcal{C}_f$ est toujours au-dessus de $d$.


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