Position relative, convexité
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction définie sur par ,
et la droite d'équation .
On cherche à déterminer la position relative de la courbe représentative de et de la droite .
On cherche à déterminer la position relative de la courbe représentative de et de la droite .
- On note la fonction définie sur
par .
- Montrer que la fonction est convexe sur .
- Donner une équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse .
- En utilisant les résultats précédents, donner le signe de .
- Dresser le tableau de variation de , puis retrouver le résultat de la question précédente.
- Conclure.
Correction
On considère la fonction définie sur par , et la droite d'équation .
On cherche à déterminer la position relative de la courbe représentative de et de la droite .
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On considère la fonction définie sur par , et la droite d'équation .
On cherche à déterminer la position relative de la courbe représentative de et de la droite .
- On note la fonction définie sur
par .
- On a ,
puis ,
d'où est convexe sur .
- Une équation de la tangente à la courbe de
au point d'abscisse est
avec et , on trouve donc l'équation .
- On a ,
puis ,
d'où est convexe sur .
- Comme est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes,
en particulier au-dessus de , ce qui s'écrit aussi que
pour tout réel .
En d'autres termes, est positif sur .
- On a vu que ,
et donc
car est strictement croissante sur , et on obtient donc finalement
d'où le tableau de variation
avec le minimum .
On retrouve ainsi que pour tout réel , c'est-à-dire que est positive.
- Comme on a , le signe de nous donne la position relative de la courbe de et de la droite : est toujours au-dessus de .
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Tags:ExponentielleConvexité
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