Oral de Bac: suite recurrente, fonction, récurrence et convergence monotone

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On définit la suite $(u_n)$ par $u_0=0,3$ et, pour tout entier $n$, par $u_{n+1}=1,8u_n\lp1-u_n\rp$.
  1. Etudier les variations de la fonction $f:x\mapsto 1,8 x(1-x)$ sur $[0;1]$ et montrer que $f\lp\dfrac12\rp\in\lb0;\dfrac12\rb$.
  2. Démontrer par récurrence que, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$.
  3. En déduire que la suite $(u_n)$ converge.
  4. Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Correction
$u_0=0,3$ et $u_{n+1}=1,8 u_n(1-u_n)$.
  1. Pour tout $x\in[0;1]$, $f'(x)=1,8(-2x+1)$.
    De plus, $f\lp\dfrac12\rp=0,45\in\lb0;\dfrac12\rb$.

    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $0$ && $\dfrac12$ && 1 \\\hline $-2x+1$ && $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $f'(x)$ && $+$ & \mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &&&$0,45$&& \\ $f$&& \Large{$\nearrow$}& &\Large{$\searrow$} &\\ &0&&&&0 \\\hline \end{tabular}\]



  2. Initialisation: Pour $n=0$, $u_0=0,3$ et $u_1=1,8\tm0,3\left( 1-0,3\rp=0,378$. On a bien ainsi $0\leqslant u_0\leqslant u_1\leqslant \dfrac12$. Hérédité: Supposons que pour un entier $n$, on ait $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$. Comme la fonction $f$ est croissante sur $\left[ 0;\dfrac12\rb$, on a donc $f(0) \leqslant f\left( u_n\right) \leqslant f\left( u_{n+1}\right) \leqslant f\lp\dfrac12\rp$.
    Or, $f(0)=0$, $f\left( u_n\rp=u_{n+1}$, $f\left( u_{n+1}\rp=u_{n+2}$ et $f\left(\dfrac12\rp=0,45\leqslant \dfrac12$. Ainsi, $0\leqslant u_{n+1}\leqslant u_{n+2}\leqslant 0,45\leqslant \dfrac12$, et la propriété est encore vraie au rang $(n+1)$. Conclusion: D'après le principe de récurrence, pour tout entier $n$, $0\leqslant u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant \dfrac12$.
  3. La suite $(u_n)$ est donc croissante est majorée par $\dfrac12$. On en déduit qu'elle converge vers une limite $l$.
  4. La limite $l$ vérifie nécessairement, d'après le théorème du point fixe, $l=1,8l(1-l)$ $\iff$ $1,8l^2-0,8l=0$ $\iff$ $l\left( 1,8l-0,8\rp=0$ $\iff l=0 \text{ ou } l=\dfrac{0,8}{1,8}=\dfrac49 $.
    Or $(u_n)$ est croissante avec $u_0=0,3>0$, et donc, pour tout entier $n$, $u_n\geqslant 0,3$. La limite de la suite ne peut donc être que $l=\dfrac49$.


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