Oral de Bac: suite recurrente, fonction, récurrence et convergence monotone
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On définit la suite
par
et, pour tout entier
,
par
.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05/1.png)
![$u_0=0,3$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05/2.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05/3.png)
![$u_{n+1}=1,8u_n\lp1-u_n\rp$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05/4.png)
- Etudier les variations de la fonction
sur
et montrer que
.
- Démontrer par récurrence que, pour tout entier
,
.
- En déduire que la suite
converge.
- Déterminer la limite de la suite
.
Correction
et
.
Cacher la correction
![$u_0=0,3$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05_c/1.png)
![$u_{n+1}=1,8 u_n(1-u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/exOral05_c/2.png)
-
Pour tout ,
.
De plus,.
-
Initialisation: Pour,
et
. On a bien ainsi
. Hérédité: Supposons que pour un entier
, on ait
. Comme la fonction
est croissante sur
, on a donc
.
Or,,
,
et
. Ainsi,
, et la propriété est encore vraie au rang
. Conclusion: D'après le principe de récurrence, pour tout entier
,
.
- La suite
est donc croissante est majorée par
. On en déduit qu'elle converge vers une limite
.
- La limite
vérifie nécessairement, d'après le théorème du point fixe,
.
Orest croissante avec
, et donc, pour tout entier
,
. La limite de la suite ne peut donc être que
.
Cacher la correction
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