Oral de Bac - suite récurrente - Conjectures graphiques et récurrence

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la suite

définie par

et, pour tout entier

, $$u_{n+1}=\sqrt{10u_n}$ .
On note

la fonction définie par l'expression $$f:x\mapsto \sqrt{10x}$ .

Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes , , … de la suite .
Quelles conjectures peut-on faire ?
Démontrer que la suite est croissante, positive et majorée par 10.
En déduire que converge vers une limite $$\ell$ .
Déterminer cette limite $$\ell$ .

Correction

$\psset{unit=0.8cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-1,-1)(12,12) \psline{->}(-.5,0)(12,0) \psline{->}(0,-.5)(0,12) \newcommand{\f}[1]{10 #1 mul 0.5 exp} \psplot{0}{10}{\f{x}} \psplot[linewidth=1.4pt]{0}{12}{\f{x}} \rput(11.6,10.3){$\mathcal{C}_f$} \psplot{-0.2}{12}{x}\rput(11.5,12){$y=x$} \newcommand\fn[2]{% \ifnum#1=1 \f{#2}% \else \f{\fn{\numexpr#1-1}{#2}}% \fi } \def\xinit{2} \def\nmax{4} \psline[linestyle=dashed](\xinit,0)(!\xinit\space\f{\xinit})(!\f{\xinit}\space\f{\xinit}) \rput(\xinit,-0.3){$u_0=2$} \multido{\i=1+1}{\nmax}{ \psline[linestyle=dashed](!\fn{\i}{\xinit} \space 0)(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\i}{\xinit})(!\fn{\i}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit})(!\fn{\numexpr\i+1}{\xinit} \space \fn{\numexpr\i+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space 0){$\tm$} \rput(!\fn{\i}{\xinit}\space -0.3){$u_\i$} } \def\ninf{20} \psline[linecolor=blue](!\fn{\ninf}{\xinit}\space 0)(!\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit})(!0\space\fn{\numexpr\ninf+1}{\xinit}) \rput(!\fn{\ninf}{\xinit}\space -0.3){\blue$\ell$} \rput(!-.3\space\fn{\ninf}{\xinit}){\blue$\ell$} \end{pspicture}$

On peut conjecturer que la suite est strictement croissante, minorée par , majorée par , et convergente vers une limite .
La suite est définie par récurrence selon $$u_{n+1}=f\left( u_n\rp$ .
La fonction est strictement croissante sur $$\R_+$ , car $$f'(x)=\dfrac{\sqrt{10}}{2\sqrt{x}}>0$ .

Démontrons alors, par récurrence, que la suite est croissante, positive et majorée par 10, c'est-à-dire que pour tout entier , $$0<u_n<u_{n+1}<10$ .
Initialisation: On a et $$u_1=\sqrt{10u_0}=\sqrt{20}$ , donc et la propriété est donc vraie initialement pour .
Hérédite: Supposons maintenant que la propriété $$0<u_n<u_{n+1}<10$ soit vraie pour un certain entier .
Alors, comme comme est strictement croissante sur $$\R_+$ , on a $$f(0)<f\left( u_n\rp<f\left( u_{n+1}\rp<f(10)$ .
Or, , $$f\left( u_n\rp=u_{n+1}$ , $$f\left( u_{n+1}\rp=u_{n+2}$ , et $$f(10)=\sqrt{10\tm10}=10$ .
Ainsi, on a bien $$0<u_{n+1}<u_{n+2}<10$ , ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang .
Conclusion: On vbient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier , $$0<u_n<u_{n+1}<10$ , c'est-à-dire que la suite est strictement croissante et bornée par 0 et 10.
étant croissante et majorée, on en déduit qu'elle converge vers une limite $$\ell$ qui vérifie $$\ell=\sqrt{10\ell}$ , soit $$\ell=0$ ou $$\ell=10$ .
Comme et que est croissante, la suite ne peut pas converger vers 0.
Sa limite est donc $$\ell=10$ .

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