Oral de Bac - suite récurrente - Conjectures graphiques et récurrence
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la suite
définie par
et,
pour tout entier
,
.
On note
la fonction définie par l'expression
.




On note


- Tracer l'allure de la courbe représentative de la fonction
et construire sur l'axe des abscisses les premiers termes
,
, … de la suite
.
Quelles conjectures peut-on faire ?
- Démontrer que la suite
est croissante, positive et majorée par 10.
- En déduire que
converge vers une limite
.
Déterminer cette limite.
Correction
Cacher la correction
-
On peut conjecturer que la suiteest strictement croissante, minorée par
, majorée par
, et convergente vers une limite
.
- La suite
est définie par récurrence selon
.
La fonctionest strictement croissante sur
, car
.
est croissante, positive et majorée par 10, c'est-à-dire que pour tout entier
,
.
Initialisation: On aet
, donc
et la propriété est donc vraie initialement pour
.
Hérédite: Supposons maintenant que la propriétésoit vraie pour un certain entier
.
Alors, comme commeest strictement croissante sur
, on a
.
Or,,
,
, et
.
Ainsi, on a bien, ce qui montre que la propriété est encore vraie au rang
.
Conclusion: On vbient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier,
, c'est-à-dire que la suite
est strictement croissante et bornée par 0 et 10.
-
étant croissante et majorée, on en déduit qu'elle converge vers une limite
qui vérifie
, soit
ou
.
Commeet que
est croissante, la suite ne peut pas converger vers 0.
Sa limite est donc.
Cacher la correction
Tag:Suites
Voir aussi:
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