Oral de Bac - Fonction avec une exponentielle et des paramètres, asymptote et intersection

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La figure donne la représentation graphique $$\mathcal{C}$ de la fonction

définie sur $$\R$ par

$f(x)=(ax+b)e^{cx}$

où

sont des réels à déterminer.
On sait que la courbe passe par les points

. De plus, au point

d'abscisse

, la courbe admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

$\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-2.8,-1.3)(4.7,2.6) \psline{->}(-2.6,0)(4.6,0) \psline{->}(0,-1.2)(0,2.5) \multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}} \multido{\i=-1+1}{4}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.3,\i){\i}} \psplot{-2.1}{4.2}{0.5 x mul 1 add 2.718 -1 x mul exp mul} \end{pspicture}$

Déterminer les valeurs des paramètres , et .
Montrer que l'axe des abscisses est une asymptote.
Déterminer les points d'intersection de la courbe avec la droite d'équation .

Correction

D'après l'énoncé on sait que
- $$A(-2;0)\in\mathcal{C}\iff f(-2)=(-2a+b)e^{-2c}=0\iff -2a+b=0$ car $$e^{-2c}\not=0$ ;
- $$B(0;1)\in\mathcal{C}\iff f(0)=b=1$ , donc aussi, d'après le résultat précédent, $$-2a+b=0\iff a=\dfrac12$ .
  
  On a donc jusqu'ici, $$f(x)=\lp\dfrac12x+1\right) e^{cx}$ .
- la tangente au point d'abscisse est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, soit .
  est de la forme $$f=v\times v$ , avec $$u(x)=\dfrac12x+1$ donc $$u'(x)=\dfrac12$ , et $$v(x)=e^{cx}$ donc $$v'(x)=ce^{cx}$ .
  On a alors la dérivée: , soit $$f'(x)=\dfrac12e^{cx}+c\lp\dfrac12x+1\right) e^{cx}=\dfrac12e^{cx}\lp cx+1+2c\right)$ .
  Ainsi, $$f'(-1)=0\iff \dfrac12e^{-c}\left( -c+1+2c\rp=0 \iff -c+1+2c=0$ car $$e^{-c}\not=0$ , et donc .
En résumé, la fonction a pour expression .
Graphiquement, il semblerait que l'axe des abscisses soit une asymptote à $$\mathcal{C}$ en $$+\infty$ .
On a $$f(x)=\dfrac12 xe^{-x}+e^{-x}=\dfrac12\tm\dfrac{1}{\dfrac{e^{x}}{x}}+e^{-x}$ .
Or, par croissances comparées, $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^x}{x}=+\infty$ , et donc, $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{\dfrac{e^{x}}{x}}=0$ .
Comme on sait aussi que $$\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{e^x}=0$ , on a bien $$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ , ce qui montre bien que la droite d'équation , c'est-à-dire aussi l'axe des abscisses est asymptote à $$\mathcal{C}$ .
On cherche les abscisses telles que $$f(x)=x+2\iff \lp\dfrac12x+1\right) e^{-x}=2\lp\dfrac12x+1\right) \iff \left( \dfrac12x+1\right) \left( e^{-x}-2\right)=0$ .
On a donc deux solutions: $$\dfrac12x+1=0\iff x=-2$ ou $$e^{-x}-2=0\iff x=-\ln(2)$ .
Il y a donc deux points d'intersection, les points , soit $$D\lp-2;0\rp$ , et $$E\lp-\ln(2);f(-\ln(2)\rp$ , soit $$E\lp-2;2-\ln(2)\rp$ .

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Tag:Exponentielle

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