Oral de Bac - Fonction avec une exponentielle et des paramètres, asymptote et intersection
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
La figure donne la représentation graphique
de la
fonction
définie sur
par
où
,
et
sont des réels à déterminer.
On sait que la courbe passe par les points
et
.
De plus, au point
d'abscisse
, la courbe admet une tangente
parallèle à l'axe des abscisses.
![$\mathcal{C}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/1.png)
![$f](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/2.png)
![$\R](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/3.png)
![f(x)=(ax+b)e^{cx}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/4.png)
où
![$a](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/5.png)
![$b](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/6.png)
![$c](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/7.png)
On sait que la courbe passe par les points
![$A(-2; 0)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/8.png)
![$B(0; 1)](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/9.png)
![$C](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/10.png)
![$-1](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/11.png)
![\psset{xunit=1cm,yunit=1.3cm,arrowsize=7pt}
\begin{pspicture}(-2.8,-1.3)(4.7,2.6)
\psline{->}(-2.6,0)(4.6,0)
\psline{->}(0,-1.2)(0,2.5)
\multido{\i=-2+1}{7}{\psline(\i,.1)(\i,-.1)\rput(\i,-.3){\i}}
\multido{\i=-1+1}{4}{\psline(.1,\i)(-.1,\i)\rput(-.3,\i){\i}}
\psplot{-2.1}{4.2}{0.5 x mul 1 add 2.718 -1 x mul exp mul}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapExponentielle/exOral02/12.png)
- Déterminer les valeurs des paramètres
,
et
.
- Montrer que l'axe des abscisses est une asymptote.
- Déterminer les points d'intersection de la courbe avec la droite
d'équation
.
Correction
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- D'après l'énoncé on sait que
-
car
;
-
, donc aussi, d'après le résultat précédent,
.
.
- la tangente au point d'abscisse
est horizontale, donc son coefficient directeur est nul, soit
.
est de la forme
, avec
donc
, et
donc
.
On a alors la dérivée:, soit
.
Ainsi,car
, et donc
.
En résumé, la fonctiona pour expression
.
-
- Graphiquement, il semblerait que l'axe des abscisses soit une
asymptote à
en
.
On a.
Or, par croissances comparées,, et donc,
.
Comme on sait aussi que, on a bien
, ce qui montre bien que la droite d'équation
, c'est-à-dire aussi l'axe des abscisses est asymptote à
.
- On cherche les abscisses
telles que
.
On a donc deux solutions:ou
.
Il y a donc deux points d'intersection, les points, soit
, et
, soit
.
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Tag:Exponentielle
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