Logarithme et convexité
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction
définie sur
par
, et on note
sa courbe représentative.
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-ln-cvx/1.png)
![$]0;+\infty[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-ln-cvx/2.png)
![$f(x)=x\ln(x)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-ln-cvx/3.png)
![$\mathcal{C}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapLogarithme/ex-ln-cvx/4.png)
- Montrer que la fonction
est convexe sur
.
- Donner l'équation de la tangente à
au point d'abscisse 1.
- Montrer que, pour tout
, on a
.
Correction
Cacher la correction
- On a
avec
, donc
et
donc
, et alors
, soit
.
Ensuite, on apour
, ce qui montre que
est convexe sur
.
- La tangente a pour équation
.
- Comme
est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente en 1, c'est-à-dire que, pour tout
, on a
.
Cacher la correction
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