Logarithme et convexité
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction définie sur par
, et on note sa courbe représentative.
- Montrer que la fonction est convexe sur .
- Donner l'équation de la tangente à au point d'abscisse 1.
- Montrer que, pour tout , on a .
Correction
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- On a avec , donc et donc , et alors
, soit
.
Ensuite, on a pour , ce qui montre que est convexe sur . - La tangente a pour équation .
- Comme est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente en 1, c'est-à-dire que, pour tout , on a .
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