Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $]0;+\infty[$ par $f(x)=x\ln(x)$, et on note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
  1. Montrer que la fonction $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
  2. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1.
  3. Montrer que, pour tout $x>0$, on a $x\ln(x)\geqslant x-1$.

Correction
  1. On a $f=uv$ avec $u(x)=x$, donc $u'(x)=1$ et $v(x)=\ln(x)$ donc $v'(x)=\dfrac1x$, et alors $f'=u'v+uv'$, soit $f'(x)=\ln(x)+x\dfrac1x=\ln(x)+1$.
    Ensuite, on a $f''(x)=\dfrac1x>0$ pour $x>0$, ce qui montre que $f$ est convexe sur $]0;+\infty[$.
  2. La tangente a pour équation $y=f'(1)(x-1)+f(1)=x-1$.
  3. Comme $f$ est convexe, sa courbe est au-dessus de ses tangentes, en particulier au-dessus de la tangente en 1, c'est-à-dire que, pour tout $x>0$, on a $f(x)=x\ln(x)\geqslant x-1$.


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