Limites de 4 suites

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Déterminer les limites des suites définies par:
$u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)}$    ,    $v_n=5\lp\dfrac94\rp^n-2$    ,    $w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$    et    $z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+\dfrac12}$

Correction
$\bullet \ u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)} =\dfrac{6n^3\lp1+\dfrac1{6n^3}\right)}{4n^3\lp1+\dfrac2n+\dfrac1n^2\right)} =\dfrac32\tm\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}$
Comme $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}=1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac32$.

Comme $\bullet \ \dfrac94>1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac94\rp^n=+\infty$, et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$.

$\bullet \ w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$. On a $-1<\dfrac12<1$, donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$, et $\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{\sqrt{n}}=1$, d'où $\dsp\lim_{n\to+\infty}w_n=\dfrac53$

$\bullet \ z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+\dfrac12} =\dfrac{2n\lp1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n\rp}{n\lp1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac1{2n}\rp} =2\tm\dfrac{1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n}{1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1{2n}}$
avec, comme $-1<\dfrac12<1$, on a $\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$ et donc $\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n=0$.
Comme on a aussi $1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1{2n}=1$, on obtient finalement $\dsp\lim_{n\to+\infty}z_n=2$.

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