Limites de 4 suites
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Déterminer les limites des suites définies par:
  ,  
  ,  
  et  
![$u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101/1.png)
![$v_n=5\lp\dfrac94\rp^n-2$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101/2.png)
![$w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101/3.png)
![$z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+\dfrac12}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101/4.png)
Correction
Comme
,
on a
.
Comme
, on a
,
et donc
.
.
On a
, donc
,
et
,
d'où
avec, comme
, on a
et donc
.
Comme on a aussi
,
on obtient finalement
.
Cacher la correction
![$\bullet \ u_n=\dfrac{6n^3+1}{4n(n^2+2n+1)}
=\dfrac{6n^3\lp1+\dfrac1{6n^3}\right)}{4n^3\lp1+\dfrac2n+\dfrac1n^2\right)}
=\dfrac32\tm\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/1.png)
Comme
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1+\dfrac1{6n^3}}{1+\dfrac2n+\dfrac1n^2}=1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/2.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=\dfrac32$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/3.png)
Comme
![$\bullet \ \dfrac94>1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/4.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac94\rp^n=+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/5.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}v_n=+\infty$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/6.png)
![$\bullet \ w_n=\dfrac{5+\lp\dfrac12\rp^n}{3+\dfrac1{\sqrt{n}}}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/7.png)
![$-1<\dfrac12<1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/8.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/9.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}1+\dfrac1{\sqrt{n}}=1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/10.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}w_n=\dfrac53$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/11.png)
![$\bullet \ z_n=\dfrac{2n+\lp\dfrac12\rp^n}{n+\sqrt{n}+\dfrac12}
=\dfrac{2n\lp1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n\rp}{n\lp1+\dfrac{\sqrt{n}}{n}+\dfrac1{2n}\rp}
=2\tm\dfrac{1+\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n}{1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1{2n}}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/12.png)
avec, comme
![$-1<\dfrac12<1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/13.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\lp\dfrac12\rp^n=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/14.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}\dfrac1n\lp\dfrac12\rp^n=0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/15.png)
Comme on a aussi
![$1+\dfrac1{\sqrt{n}}+\dfrac1{2n}=1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/16.png)
![$\dsp\lim_{n\to+\infty}z_n=2$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapSuites/ex0101_c/17.png)
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