Inégalité (de cours) avec une exponentielle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Montrer que, pour tout $x$ réel, $e^x\geqslant x+1$.
On pourra étudier les variations de la fonction $f:x\mapsto e^x-(x+1)$.

Correction
Soit $f:x\mapsto e^x-(x+1)$, définie sur $\R$.
On a alors $f'(x)=e^x-1$ et alors $f'(x)>0\iff e^x>1=e^0\iff x>0$ car la fonction exponentielle est strictement croissante sur $\R$. On a ainsi le tableau de variation
\[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ &$-\infty$ && 1 && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &0& $+$ &\\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &&&0&&\\\hline \end{tabular}\]

avec $f(0)=e^0-(0+1)=0$.
Ainsi, le minimum de $f$ sur $\R$ est $f(0)=0$, et en particulier, pour tout réel $x$, on a
\[\begin{array}{ll}f(x)\geqslant f(0)=0 &\iff e^x-(x+1)\geqslant0\\ &\iff e^x\geqslant x+1\enar\]



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