Fonction exponentielle à identifier et à étudier
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère les points et
et la droite d'équation
.
On note la fonction définie sur dont la courbe représentative, notée est donnée ci-contre.
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- Montrer que le couple est solution du système:
- En déduire que, pour tout réel , .
- Montrer que le couple est solution du système:
- Déterminer la limite de en .
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- Montrer que pour tout réel , .
- En déduire le limite de en .
- Etudier les variations de .
On donnera le tableau de variations complet.
- Etudier la position relative de la courbe et de la droite .
Correction
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Ainsi, le couple est bien solution du système:
- On résout le système précédent.
En soustrayant ces deux équations, on obtient
.
De même, en multipliant la deuxième équation par 2, et en soustrayant les deux équations, on obtient , soit .
On en déduit l'expression de :  .
-
- ,
et .
Ainsi, par composition des limites,
.
Comme , on trouve, par produit des limites, que ,
-
- Pour tout réel , .
- Soit , alors , car l'exponentielle est prépondérante en devant . Ainsi, .
- Pour tout réel ,
.
Pour tout réel , , d'où
- Pour tout réel ,
.
Or, , car la fonction exponentielle est strictement croissante sur , et ainsi, .
On en déduit:
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Tag:Exponentielle
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