Fonction avec paramètres à déterminer, tangente, position relative

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

D'après sujet de bac
Partie A
Soit $ \varphi$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ \varphi(x)=\dfrac{3x^2+ax+b}{x^2+1}$ .
Déterminer les réels $ a$ et $ b$ pour que la courbe représentative de $ \varphi$ soit tangente au point $ I$ de coordonnées $ (0;3)$ à la droite $ (T)$ d'équation $ y=4x+3$ .
Partie B
Soit $ f$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}$ .
  1. Montrer que pour tout $ x$ réel, $ f(x)=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$ , $ \alpha$ et $ \beta$ étant deux réels que l'on déterminera.
  2. Etudier la fonction $ f$ .
  3. Etudier la position de la courbe $ (C)$ représentative de $ f$ par rapport à la tangente $ (T)$ au point $ I$ de coordonnées $ (0;3)$ .
  4. Construire la courbe $ (C)$ ; on prendre pou unité 2 cm.
  5. Soit $ g$ la fonction numérique de la variable réelle $ x$ telle que: $ g(x)=f\left(\vert x\vert\right)$ et $ (C')$ sa courbe représentative. Sans étudier la fonction $ g$ , construire $ (C')$ sur le graphique précédent.

Correction

Partie A La courbe représentative de $ \varphi$ passe par $ I(0;3)$ , donc $ \varphi(0)=b=3$ .

Le coefficient directeur de la tangente $ (T)$ est $ \varphi'(0)=4$ .

De plus, pour tout réel $ x$ , $ \varphi'(x)=\dfrac{\left(6x+a\right)\left(x^2+1\right)-\left(3x^2+ax+b\right)2x}{\left(x^2+1\right)^2} =\dfrac{-ax^2+(6-2b)x+a}{\left(x^2+1\right)^2} $ , et donc, $ \varphi'(0)=a$ . On en déduit donc que $ a=4$ .


Partie B

  1. Pour tout réel $ x$ , $ \alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}=\dfrac{\alpha x^2+\beta x+\alpha}{x^2+1}$

    Ainsi, $ f(x)=\dfrac{3x^2+4x+3}{x^2+1}=\alpha+\dfrac{\beta x}{x^2+1}$ pour $ \alpha=3$ et $ \beta=4$ , et on a donc, $ f(x)=3+\dfrac{4x}{x^2+1}$ .

  2. En utilisant l'expression précédente on a, pour tout réel $ x$ ,

    $ f'(x)=\dfrac{4\left(x^2+1\right)-4x\left(2x\right)}{\left(x^2+1\right)^2} =\dfrac{-4x^2+4}{\left(x^2+1\right)^2} =4\dfrac{-x^2+1}{\left(x^2+1\right)^2} $ et donc, comme pour tout $ x$ réel, $ \left(x^2+1\right)^2>0$ ,
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    $\displaystyle \begin{tabular}{\vert c\vert ccccccc\vert}\hline $x$\ & $-\infty... ...,0.6)&& \psline{->}(0.2,0.6)(1.4,-0.3)&&\\ &&&1&&&&\\ \hline \end{tabular} $

  3. Pour tout réel $ x$ , $ f(x)-\left(4x+3\right) =3+\dfrac{4x}{x^2+1}-\left(4x+3\right) =4x\left(\dfrac{1}{x^2+1}-1\right) =\dfrac{-4x^3}{x^2+1} $ .

    Ainsi, comme pour tout réel $ x$ , $ x^2+1>0$ , si $ x<0$ , $ f(x)-\left(4x+3\right)<0$ et $ (C)$ est au-dessous de $ (T)$ , tandis que si $ x>0$ , $ f(x)-\left(4x+3\right)>0$ et $ (C)$ est au-dessus de $ (T)$ .

  4. 5.

    $\displaystyle \psset{unit=1cm} \begin{pspicture}(-5.5,-0.5)(5.5,5.8) \psline{... ...0}{3 -4 x mul x 2 exp 1 add div add} \rput(-4.5,4.2){$(C')$} \end{pspicture} $



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