Étude complète de fonction

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie par l'expression $f(x)=2x+1+\dfrac{2}{x-2}$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
Dresser le tableau de variation de $f$. Préciser toutes les limites de $f$.
Tracer l'allure de $\mathcal{C}_f$ en utilisant tous les résultats précédants.

Correction
C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation. Ici $f$ est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de $\dfrac{2}{x-2}=2\times\dfrac{1}{u(x)}$ avec $u(x)=x-2$ dont la dérivée est $u'(x)=1$.
La dérivée de $\dfrac{1}{u}$ étant $-\dfrac{u'}{u^2}$, on trouve donc que $f'(x)=2-\dfrac{2}{(x-2)^2}$.
Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:
\[f'(x)=\dfrac{2(x-2)^2-2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=2\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\]


Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est $\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=\dfrac{-(-4)-\sqrt4}{2\times1}=1$ et $x_2=\dfrac{-(-4)+\sqrt4}{2\times1}=3$.
On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de $f$ (on n'oublie pas non plus la valeur interdite…).

\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline $x$&$-\infty$&&1&&2&&3&&$+\infty$\\\hline $x^2-4x+3$ &&$+$&0&$-$&$|$&$-$&0&$+$&\\\hline $(x-2)^2$ &&$+$&$|$&$+$&0&$+$&$|$&$+$&\\\hline $f'(x)$ &&$+$&0&$-$&&$-$&0&$+$&\\\hline &&&2&&&$+\infty$&&&$+\infty$\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}& \psline(0,-.6)(0,1.3)\psline(.07,-.6)(.07,1.3)& \Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\ &$-\infty$&&&$-\infty$&&&9&&\\\hline \end{tabular}\]


Limites de $f$: En l'infini, on a $\dsp\lim_{x\to-\infty}\dfrac2{x-2}=\lim_{x\to+\infty}\dfrac2{x-2}=0$ et $\dsp\lim_{x\to-\infty}2x+1=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}2x+1=+\infty$ .
On obtient alors, par somme des limites, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty$


Lorsque $x\to2$, on $\dsp\lim_{x\to2}2x+1=5$, et $\dsp\lim_{x\to2}x-2=0$.
Le quotient $\dfrac2{x-2}$ tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas $x<2\iff x-2<0$ et $x>2\iff x-2>0$:
$\dsp\lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x\to2\\x<2\end{array}}\dfrac2{x-2}=-\infty$ et donc $\dsp\lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x\to2\\x<2\end{array}}f(x)=-\infty$.
On trouve de même $\dsp\lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x\to2\\x<2\end{array}}\dfrac2{x-2}=+\infty$ et donc $\dsp\lim_{\scriptsize\begin{array}{l}x\to2\\x<2\end{array}}f(x)=+\infty$.
On en déduit de plus que la droite d'équation $x=2$ est une asymptote verticale à $\mathcal{C}_f$.

\[\psset{xunit=1cm,yunit=.4cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture*}(-5.8,-17)(5.8,22) \psline{->}(-5.8,0)(5.8,0) \psline{->}(0,-17)(0,22) \multido{\i=-5+1}{11}{\psline(\i,.3)(\i,-.3)\rput(\i,-1){\i}} \multido{\i=-15+5}{8}{\psline(-.1,\i)(.1,\i)\rput[r](-.1,\i){\i}} \psplot{-3}{1.9}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add} \psplot{2.1}{5}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add} \psline[linecolor=blue](2,-17)(2,22) \end{pspicture*}\]



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