Étude complète de fonction
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère la fonction 
définie par l'expression 
.
On note
sa courbe représentative.
Dresser le tableau de variation de
.
Préciser toutes les limites de 
.
Tracer l'allure de
en utilisant tous les résultats précédants.
définie par l'expression .
On note
sa courbe représentative.
Dresser le tableau de variation de
.
Préciser toutes les limites de .
Tracer l'allure de
en utilisant tous les résultats précédants.
Correction
C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation. Ici
est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de
avec 
dont la dérivée est 
.
La dérivée de
étant 
, on trouve donc que
.
Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:
![\[f'(x)=\dfrac{2(x-2)^2-2}{(x-2)^2}=\dfrac{2x^2-8x+6}{(x-2)^2}=2\dfrac{x^2-4x+3}{(x-2)^2}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF_c/8.png)
Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est
et qui admet donc deux racines
et 
.
On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de
(on n'oublie pas non plus la valeur interdite…).
![\[\begin{tabular}{|c|lcccccccr|}\hline
$x$&$-\infty$&&1&&2&&3&&$+\infty$\\\hline
$x^2-4x+3$ &&$+$&0&$-$&$|$&$-$&0&$+$&\\\hline
$(x-2)^2$ &&$+$&$|$&$+$&0&$+$&$|$&$+$&\\\hline
$f'(x)$ &&$+$&0&$-$&&$-$&0&$+$&\\\hline
&&&2&&&$+\infty$&&&$+\infty$\\
$f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&
\psline(0,-.6)(0,1.3)\psline(.07,-.6)(.07,1.3)&
\Large{$\searrow$}&&\Large{$\nearrow$}&\\
&$-\infty$&&&$-\infty$&&&9&&\\\hline
\end{tabular}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF_c/13.png)
Limites de
:
En l'infini, on a
et
et
.
On obtient alors, par somme des limites,
et
Lorsque
, on 
,
et 
.
Le quotient
tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas 
et 
:
et donc
.
On trouve de même
et donc
.
On en déduit de plus que la droite d'équation
est une asymptote verticale à 
.
{\i}}
\psplot{-3}{1.9}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psplot{2.1}{5}{2 x mul 1 add 2 x 2 sub div add}
\psline[linecolor=blue](2,-17)(2,22)
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/exEF_c/32.png)
Cacher la correction
C'est le signe de la dérivée de f qui nous donne son sens de variation. Ici
est la somme d'une fonction affine (que l'on dérive facilement) et de
avec dont la dérivée est .
La dérivée de
étant , on trouve donc que
.
Pour pouvoir déterminer le signe de cette expression, on l'exprime sur un seul dénominateur:
Le numérateur est un trinôme du second degré dont le discriminant est
et qui admet donc deux racines
et .
On obtient alors le signe du trinôme, et donc de la dérivée, et enfin le sens de variation de
(on n'oublie pas non plus la valeur interdite…).
Limites de
:
En l'infini, on a
et
et
.
On obtient alors, par somme des limites,
et
Lorsque
, on ,
et .
Le quotient
tend vers l'infini, et il reste à déterminer son signe en séparant les cas et :
et donc
.
On trouve de même
et donc
.
On en déduit de plus que la droite d'équation
est une asymptote verticale à .
Cacher la correction
Tags:Limites de fonctionsFonctions
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