Deux courbes tangentes en un point

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère les fonctions

définies respectivement sur $$\R$ et $$\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[$ par les expressions $$f(x)=\dfrac14 x^2+x+\dfrac34$ et $$g(x)=\sqrt{3x-2}+1$ .
On note $$\mathcal{C}_g$ et $$\mathcal{C}_f$ leur courbe représentative respective.

1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $$\mathcal{C}_f$ et des axes du repère.
2. Dresser le tableau de variation de . Préciser les limites en l'infini.
1. Etudier la limite de en $$+\infty$ .
2. Etudier les variations de .
1. Donner l'équation de la tangente à $$\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse .
2. On dit que deux courbes sont tangentes en un point lorsque, en ce point, les deux courbes ont la même tangente. Montrer que les courbes $$\mathcal{C}_f$ et $$\mathcal{C}_g$ sont tangentes au point d'abscisse .
Tracer les courbes $$\mathcal{C}_f$ et $$\mathcal{C}_g$ dans un repère en utilisant tous les résultats précédents.

Correction

1. Les points de $$\mathcal{C}_f$ ont pour coordonnées $$\left( x;f(x)\rp$ avec $$x\in\R$ .
  Ces points sont aussi sur l'axe des abscisses si $$f(x)=0\iff f(x)=\dfrac14 x^2+x+\dfrac34=0\iff x^2+4x+3=0$ .
  Ce trinôme du second degré a pour discriminant $$\Delta=4^2-4\tm3=4=2^2>0$ et admet donc deux racines distinctes $$x_1=\dfrac{-4-2}{2}=-3$ et $$x_2=\dfrac{-4+2}{2}=-1$ .
  Il y a donc deux points d'intersection de $$\mathcal{C}_f$ avec l'axe des abscisses, dont les coordonnées sont et .
  
  Le point d'intersection de $$\mathcal{C}_f$ avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées $$\lp0;f(0)\rp$ soit $$\lp0;\dfrac34\rp$ .
2. est une fonction trinôme du second degré, donc dérivable sur $$\R$ , avec $$f'(x)=\dfrac12x+1$ .
  On a donc le tableau de variation:
  
  $\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$ & \\\hline &$+\infty$&&&&$+\infty$\\ $f$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,.5)(.5,-.5)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.5)(.8,.5)&\\ &&&$-\dfrac14$&&\\\hline \end{tabular}$
  
  Avec $$\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\dfrac14x^2\lp1+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{3}{x^2}\rp=+\infty$ par produit des limites $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac14x^2=+\infty$ et $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp1+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{3}{x^2}\rp=1$ .
  Et de même en $$-\infty$ : $$\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty$ .
  On a de plus le minimum, $$f(-2)=\dfrac14(-2)^2+(-2)+\dfrac34=-\dfrac14$ .
1. En $$+\infty$ , on a $$\dsp\lim_{x\to+\infty}3x-2=+\infty$ et, comme $$\dsp\lim_{X\to+\infty}\sqrt{X}=+\infty$ , par composition des limites, $$\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x-2}=+\infty$ , et donc, $$\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$ .
2. est définie sur $$\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[$ et est dérivable sur $$\Bigl]\dfrac23;+\infty\Bigr[$ .
  On a $$g=\sqrt{u}+1$ , avec , donc ,
  et alors $$g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$ , soit $$g'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}$ .
  En particulier, pour tout $$x\in\Bigl]\dfrac23;+\infty\Bigr[$ , , et donc est strictement croissante sur $$\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[$ .
1. L'équation de la tangente à $$\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse est .
2. Au point d'abscisse , l'équation de la tangente à $$\mathcal{C}_f$ est , avec $$f(1)=\dfrac141^2+1+\dfrac34=2$ et $$f'(1)=\dfrac12+1=\dfrac32$ .
  Ainsi $$T_f: y=\dfrac32(x-1)+2$ .
  
  De même, l'équation de la tangente à $$\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse est , avec $$g(1)=\sqrt{3\tm1-2}+1=2$ et $$g'(1)=\dfrac{3}{2\sqrt{3\tm1-2}}=\dfrac32$ , soit $$T_g: y=\dfrac32(x-1)+2$ .
  
  Ces deux courbes sont donc bien tangentes au point d'abscisse .
$\psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-4,-1.6)(4,4) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-1.6)(0,4) \psplot[linewidth=1.2pt]{-4}{2.2}{.25 x 2 exp mul x add 0.75 add} \rput(-3.7,.8){$\mathcal{C}_f$} \psline(-3,.1)(-3,-.1)\rput(-3,.25){$-3$} \psline(-1,.1)(-1,-.1)\rput(-1,.25){$-1$} \psline[linestyle=dotted](-2,0)(-2,-.25)(0,-.25) \rput(-2,.25){$-2$}\psline(-.05,-.25)(.05,-.25)\rput(.2,-.35){-$\frac14$} \psline{<->}(-3.1,-.25)(-.9,-.25) \psline(-.1,.75)(.1,.75)\rput(-.2,.8){$\frac34$} % \psplot[linewidth=1.2pt]{0.667}{3}{3 x mul 2 sub 0.5 exp 1 add} \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dotted](.667,0)(.667,1) \psline(.667,-.1)(.667,.1)\rput(.667,-.35){$\frac23$} \rput(3,3.3){$\mathcal{C}_g$} % \psplot{-1.2}{2.4}{1.5 x mul .5 add} \rput(-.8,-1.2){$T$} % \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2) \rput(1,-.3){1}\rput(-.2,2){$2$} \end{pspicture}$

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