Deux courbes tangentes en un point

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère les fonctions $f et $g définies respectivement sur $\R et $\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[ par les expressions $f(x)=\dfrac14 x^2+x+\dfrac34 et $g(x)=\sqrt{3x-2}+1.
On note $\mathcal{C}_g et $\mathcal{C}_f leur courbe représentative respective.
    1. Déterminer les coordonnées des points d'intersection de $\mathcal{C}_f et des axes du repère.
    2. Dresser le tableau de variation de $f. Préciser les limites en l'infini.
    1. Etudier la limite de $g en $+\infty.
    2. Etudier les variations de $g.
    1. Donner l'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f au point d'abscisse $a.
    2. On dit que deux courbes sont tangentes en un point lorsque, en ce point, les deux courbes ont la même tangente. Montrer que les courbes $\mathcal{C}_f et $\mathcal{C}_g sont tangentes au point d'abscisse $1.
  4. Tracer les courbes $\mathcal{C}_f et $\mathcal{C}_g dans un repère en utilisant tous les résultats précédents.

Correction
    1. Les points de $\mathcal{C}_f ont pour coordonnées $\left( x;f(x)\rp avec $x\in\R.
      Ces points sont aussi sur l'axe des abscisses si $f(x)=0\iff f(x)=\dfrac14 x^2+x+\dfrac34=0\iff x^2+4x+3=0.
      Ce trinôme du second degré a pour discriminant $\Delta=4^2-4\tm3=4=2^2>0 et admet donc deux racines distinctes $x_1=\dfrac{-4-2}{2}=-3 et $x_2=\dfrac{-4+2}{2}=-1.
      Il y a donc deux points d'intersection de $\mathcal{C}_f avec l'axe des abscisses, dont les coordonnées sont $(-3;0) et $(-1;0).


      Le point d'intersection de $\mathcal{C}_f avec l'axe des ordonnées a pour coordonnées $\lp0;f(0)\rp soit $\lp0;\dfrac34\rp.
    2. $f est une fonction trinôme du second degré, donc dérivable sur $\R, avec $f'(x)=\dfrac12x+1.
      On a donc le tableau de variation:
      \begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ && $-2$ && $+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $-$ &\zb&$+$ & \\\hline &$+\infty$&&&&$+\infty$\\ $f$&&\psline[arrowsize=7pt]{->}(-.8,.5)(.5,-.5)&& \psline[arrowsize=7pt]{->}(-.6,-.5)(.8,.5)&\\ &&&$-\dfrac14$&&\\\hline \end{tabular}

      Avec $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x) =\lim_{x\to+\infty}\dfrac14x^2\lp1+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{3}{x^2}\rp=+\infty par produit des limites $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac14x^2=+\infty et $\dsp\lim_{x\to+\infty}\lp1+\dfrac{1}{4x}+\dfrac{3}{x^2}\rp=1.
      Et de même en $-\infty: $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty.
      On a de plus le minimum, $f(-2)=\dfrac14(-2)^2+(-2)+\dfrac34=-\dfrac14.
    1. En $+\infty, on a $\dsp\lim_{x\to+\infty}3x-2=+\infty et, comme $\dsp\lim_{X\to+\infty}\sqrt{X}=+\infty, par composition des limites, $\dsp\lim_{x\to+\infty}\sqrt{3x-2}=+\infty, et donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty.
    2. $g est définie sur $\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[ et est dérivable sur $\Bigl]\dfrac23;+\infty\Bigr[.
      On a $g=\sqrt{u}+1, avec $u(x)=3x-2, donc $u'(x)=3,
      et alors $g'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}, soit $g'(x)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x-2}}.
      En particulier, pour tout $x\in\Bigl]\dfrac23;+\infty\Bigr[, $g'(x)>0, et donc $g est strictement croissante sur $\Bigl[\dfrac23;+\infty\Bigr[.
    1. L'équation de la tangente à $\mathcal{C}_f au point d'abscisse $a est $y=f'(a)(x-a)+f(a).
    2. Au point d'abscisse $a=1, l'équation de la tangente $T_f à $\mathcal{C}_f est $y=f'(1)(x-1)+f(1), avec $f(1)=\dfrac141^2+1+\dfrac34=2 et $f'(1)=\dfrac12+1=\dfrac32.
      Ainsi $T_f: y=\dfrac32(x-1)+2.

      De même, l'équation de la tangente $T_g à $\mathcal{C}_g au point d'abscisse $a=1 est $y=g'(1)(x-1)+g(1), avec $g(1)=\sqrt{3\tm1-2}+1=2 et $g'(1)=\dfrac{3}{2\sqrt{3\tm1-2}}=\dfrac32, soit $T_g: y=\dfrac32(x-1)+2.

      Ces deux courbes sont donc bien tangentes au point d'abscisse $a=1.

  4. \psset{unit=1.2cm,arrowsize=7pt} \begin{pspicture}(-4,-1.6)(4,4) \psline{->}(-4,0)(4,0) \psline{->}(0,-1.6)(0,4) \psplot[linewidth=1.2pt]{-4}{2.2}{.25 x 2 exp mul x add 0.75 add} \rput(-3.7,.8){$\mathcal{C}_f$} \psline(-3,.1)(-3,-.1)\rput(-3,.25){$-3$} \psline(-1,.1)(-1,-.1)\rput(-1,.25){$-1$} \psline[linestyle=dotted](-2,0)(-2,-.25)(0,-.25) \rput(-2,.25){$-2$}\psline(-.05,-.25)(.05,-.25)\rput(.2,-.35){-$\frac14$} \psline{<->}(-3.1,-.25)(-.9,-.25) \psline(-.1,.75)(.1,.75)\rput(-.2,.8){$\frac34$} % \psplot[linewidth=1.2pt]{0.667}{3}{3 x mul 2 sub 0.5 exp 1 add} \psline[linewidth=.3pt,linestyle=dotted](.667,0)(.667,1) \psline(.667,-.1)(.667,.1)\rput(.667,-.35){$\frac23$} \rput(3,3.3){$\mathcal{C}_g$} % \psplot{-1.2}{2.4}{1.5 x mul .5 add} \rput(-.8,-1.2){$T$} % \psline[linestyle=dashed](1,0)(1,2)(0,2) \rput(1,-.3){1}\rput(-.2,2){$2$} \end{pspicture}



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