Dérivée seconde, TVI, …

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Soit la fonction définie sur par    .

1. Soit la fonction dérivée de la fonction . Calculer pour tout réel de .
   Vérifier que la fonction dérivée seconde est définie sur par .
   
2. En déduire les variations de la fonction sur .
   
3. Etablir que l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
   Déterminer une valeur approchée de à près.
   
4. En déduire les variations de sur .

Correction
Soit la fonction définie sur par    .

1. Pour tout réel , .
   
    
   Pour tout réel , .
   
2. Pour tout réel , et , et donc,
   
   
   
   
   
   
3. La fonction est dérivable, donc continue, et strictement croissante sur .
   De plus, , et .
   Ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution dans l'intervalle .
   A la calculatrice, on trouve et .
   Ainsi, , c'est-à-dire .
   
4. D'après ce qui précède, on a:
   
   
   
   

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