Convexité d'un polynome

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x)=\dfrac14x^4-\dfrac13x^3-\dfrac12x^2+7x+145$.
Étudier la convexité de le fonction $f$. Préciser les abscisses des éventuels points d'inflexion.

Correction
$f$ est une fonction polynôme et donc, en particulier, est dérivable deux fois avec
\[f'(x)=x^3-x^2-x+7\]

et
\[f''(x)=3x^2-2x-1\]

La convexité de $f$ est donnée par le signe de sa dérivée, qui est une trinôme du second degré de discriminant $\Delta=16>0$ et qui admet donc deux racines $x_1=1$ et $x_2=-\dfrac13$.
On obtient alors le signe,
\[\begin{tabular}{|c|ccccccc|}\hline $x$&$-\infty$&&$-1/3$&&1&&$+\infty$\\\hline $f''(x)$&&$+$&0&$-$&0&$+$&\\\hline \end{tabular}\]

et ainsi $f$ est convexe sur $]-\infty;-1/3]\cup[1;+\infty[$ et concave sur $[-1/3;1]$.
Enfin, la courbe de $f$ admet deux points d'inflexion, en $x=-1/3$ et $x=1$.

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