Chainette: étude, limite, TVI

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Chaînette
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par: $f(x)=\dfrac72-\dfrac12\left( e^x + e^{-x}\rp$.
On note $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative.
  1. Calculer $f(-x)$. Que peut-on conclure sur $\mathcal{C}_f$.
  2. Calculer les limites en $-\infty$ et $+\infty$ de $f$.
  3. Dresser le tableau de variation de la fonction f .
  4. Montrer que l'équation $f(x)=0$ admet un unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $[0 ;+\infty[$, puis justifier que l'équation $f (x)=0$ admet exactement deux solutions sur $\R$ et que ces solutions sont opposées.
    Donner une valeur approchée à $10^{-4}$ près de $\alpha$.

Correction
  1. On a, pour tout réel $x$, $f(-x)=\dfrac72-\dfrac12\left( e^{-x}x + e^{x}\right) =f(x)$, ce qui montre que $f$ est paire et donc que sa courbe représentative est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  2. On a $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}e^{-x}=0$ et donc, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$.
    De même en $-\infty$, ou par symétrie, $\dsp\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$.
  3. On a $f=\dfrac72-\dfrac12\left( e^x+e^{u(x)}\rp$, avec $u(x)=x$ et donc $f'(x)=0-\dfrac12\left( e^x+u'(x)e^{u(x)}\right) =-\dfrac12\left( e^x-e^{-x}\rp$. On cherche ensuite le signe de cette dérivée:
    \[\begin{array}{ll}f'(x)>0&\iff-\dfrac12\left( e^x-e^{-x}\rp>0\\ &\iff e^x-e^{-x}<0\\ &\iff e^x<e^{-x}\\ &\iff x<-x \quad \text{car } \exp \text{ est strictement croissante}\\ &\iff 2x<0\\ &\iff x<0 \enar\]

    On obtient ainsi le tableau de variation:
    \[\begin{tabular}{|c|ccccc|}\hline $x$ & $-\infty$ &&0&&$+\infty$ \\\hline $f'(x)$ && $+$ &\zb&$-$ & \\\hline &&&$\frac52$&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &$-\infty$&&&&$-\infty$\\\hline \end{tabular}\]

  4. $f$ est continue (et même dérivable), strictement décroissante sur $[0 ;+\infty[$, avec $f(0)=\dfrac52>0$ et $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$, et donc, d'après le théorème de la bijection (théorème des valeurs intermédiaires, version forte), on en déduit que l'équation $f(x)=0$ admet exactement une solution $\alpha$ sur cet intervalle $[0 ;+\infty[$.

    Comme on sait de plus que $f$ est paire d'après la première question, on a aussi que $f(-\alpha)=f(\alpha)=0$ et ainsi l'équation $f(x)=0$ admet deux solutions opposées sur $\R$: $\alpha$ et $-\alpha$.
    On trouve la valeur approchée: $\alpha\simeq 1,9.10^{-3}$.


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