Bac 2022 (12 mai): QCM, fonctions, convexité, suites
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction
définie et deux fois dérivable sur
. La courbe de sa fonction dérivée
est donnée ci-dessous.
On admet que
admet un maximum en
et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées
.
Question 1 :
a. La fonction
admet un maximum en
b. La fonction
admet un maximum en
c. La fonction
admet un minimum en
d. Au point d'abscisse
, la courbe de la fonction
admet une tangente horizontale.
![\[\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-2.6)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.2,-2.6)(1,1)
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-5.2,0.05)(-4,0.13)(-3,0.28)(-2,0.4)(-1,0.35)(0,-1)(0.38,-2.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul neg}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/17.png)
Question 2 :
a. La fonction
est convexe sur
b. La fonction
est convexe sur
c. La courbe
représentant la fonction
n'admet pas de point d'inflexion
d. la fonction
est concave sur
Question 3:
La dérivée seconde
de la fonction
vérifie :
a.
pour
b.
pour
c.
d.
Question 4 :
On considère trois suites
,
et
. On sait que, pour tout entier naturel
, on a :
et de plus:
et
.
On peut alors affirmer que :
a. la suite
converge
b. Si la suite
est croissante alors la suite
est minorée par
c.
d. la suite
diverge.
Question 5:
On considère une suite
telle que, pour tout entier naturel
non nul:
.
On peut alors affirmer que :
a. la suite
diverge
b. la suite
converge
c.
d.
.
Question 6:
On considère
une suite réelle telle que pour tout entier naturel
, on a :
.
On peut affirmer que:
a. Il existe un entier naturel
tel que
est un entier
b. la suite
est croissante
c. la suite
est convergente
d. La suite
n'a pas de limite.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/1.png)
![$\R$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/2.png)
![$f'$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/3.png)
On admet que
![$f'$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/4.png)
![$- \dfrac{3}{2}$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/5.png)
![$\left(- \dfrac12~;~0\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/6.png)
Question 1 :
a. La fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/7.png)
![$-\dfrac32$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/8.png)
b. La fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/9.png)
![$-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/10.png)
c. La fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/11.png)
![$-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/12.png)
d. Au point d'abscisse
![$-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/13.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/14.png)
On rappelle que la courbe ci-dessous représente la fonction dérivée
de
.
![$f'$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/15.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/16.png)
![\[\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture*}(-5.2,-2.6)(1,1)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.2,-2.6)(1,1)
%\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-5.2,0.05)(-4,0.13)(-3,0.28)(-2,0.4)(-1,0.35)(0,-1)(0.38,-2.6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul neg}
\end{pspicture*}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/17.png)
Question 2 :
a. La fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/18.png)
![$\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/19.png)
b. La fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/20.png)
![$\left]- \infty;~- \dfrac12\right[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/21.png)
c. La courbe
![$\mathcal{C}_f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/22.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/23.png)
d. la fonction
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/24.png)
![$\left] - \infty~;~- \dfrac12\right[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/25.png)
Question 3:
La dérivée seconde
![$f''$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/26.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/27.png)
a.
![$f''(x) \geqslant 0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/28.png)
![$x \in \left]-\infty~;~- \dfrac12\right[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/29.png)
b.
![$f''(x) \geqslant 0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/30.png)
![$x \in [- 2~;~- 1]$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/31.png)
c.
![$f''\left(- \dfrac32 \right) = 0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/32.png)
d.
![$f''(- 3) = 0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/33.png)
Question 4 :
On considère trois suites
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/34.png)
![$\left(v_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/35.png)
![$\left(w_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/36.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/37.png)
![$u_n \leqslant v_n\leqslant w_n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/38.png)
![$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= 1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/39.png)
![$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 3$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/40.png)
On peut alors affirmer que :
a. la suite
![$\left(v_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/41.png)
b. Si la suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/42.png)
![$\left(v_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/43.png)
![$u_0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/44.png)
c.
![$1 \leqslant v_0 \leqslant 3$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/45.png)
d. la suite
![$\left(v_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/46.png)
Question 5:
On considère une suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/47.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/48.png)
![$u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac1n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/49.png)
On peut alors affirmer que :
a. la suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/50.png)
b. la suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/51.png)
![$\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/52.png)
![$\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/53.png)
Question 6:
On considère
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/54.png)
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/55.png)
![$n < u_n < n + 1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/56.png)
On peut affirmer que:
a. Il existe un entier naturel
![$N$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/57.png)
![$u_N$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/58.png)
b. la suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/59.png)
c. la suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/60.png)
d. La suite
![$\left(u_n\right)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022/61.png)
Correction
Question 1 : b.
Pour
, on a
donc
est croissante,
et inversement ensuite pour
.
Ainsi,
a un maximum local en
.
Question 2 : a.
La dérivée
est croissante sur
,
donc
est positive sur cet intervalle, et
y est convexe.
Question 3: c.
admet un maximum en
, donc sa dérivée
s'y annule.
Question 4 : b.
croissante signifie que
![\[u_0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant \dots\leqslant u_n\leqslant\dots\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/15.png)
et on a donc, pour tout entier
,
![\[u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/17.png)
ce qui montre que
est minorée par
.
Question 5: b.
Les inégalités données montrent que
est croissante et aussi aue
est majorée, par 1 par exemple, car
![\[u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant1\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/22.png)
Ainsi
est convergente (théorème de convergence monotone)
Question 6: b.
On a
![\[n < u_n < n + 1\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/24.png)
donc, au rang suivant
![\[n+1 < u_{n+1} < n + 2\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/25.png)
et donc, en particulier
![\[u_n<n+1<u_{n+1}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/26.png)
qui montre que la suite est croissante.
Cacher la correction
Question 1 : b.
Pour
![$x\leqslant-1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/1.png)
![$f'(x)\geqslant0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/2.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/3.png)
![$x\geqslant1$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/4.png)
Ainsi,
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/5.png)
![$x=-\dfrac12$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/6.png)
Question 2 : a.
La dérivée
![$f'$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/7.png)
![$\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/8.png)
![$f''$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/9.png)
![$f$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/10.png)
Question 3: c.
![$f'$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/11.png)
![$x=-\dfrac32$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/12.png)
![$f''$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/13.png)
Question 4 : b.
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/14.png)
![\[u_0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant \dots\leqslant u_n\leqslant\dots\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/15.png)
et on a donc, pour tout entier
![$n$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/16.png)
![\[u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/17.png)
ce qui montre que
![$(v_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/18.png)
![$u_0$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/19.png)
Question 5: b.
Les inégalités données montrent que
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/20.png)
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/21.png)
![\[u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant1\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/22.png)
Ainsi
![$(u_n)$](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/23.png)
Question 6: b.
On a
![\[n < u_n < n + 1\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/24.png)
donc, au rang suivant
![\[n+1 < u_{n+1} < n + 2\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/25.png)
et donc, en particulier
![\[u_n<n+1<u_{n+1}\]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex12052022_c/26.png)
qui montre que la suite est croissante.
Cacher la correction
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