Bac 2022 (12 mai): QCM, fonctions, convexité, suites

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.


Pour les questions 1 à 3 ci-dessous, on considère une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur $\R$. La courbe de sa fonction dérivée $f'$ est donnée ci-dessous.
On admet que $f'$ admet un maximum en $- \dfrac{3}{2}$ et que sa courbe coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $\left(- \dfrac12~;~0\right)$.
Question 1 :

a. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac32$
b. La fonction $f$ admet un maximum en $-\dfrac12$
c. La fonction $f$ admet un minimum en $-\dfrac12$
d. Au point d'abscisse $-1$, la courbe de la fonction $f$ admet une tangente horizontale.

On rappelle que la courbe ci-dessous représente la fonction dérivée $f'$ de $f$.

\[\psset{unit=1.2cm} \begin{pspicture*}(-5.2,-2.6)(1,1) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=4,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.15pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-5.2,-2.6)(1,1) %\pscurve[linecolor=blue,linewidth=1.25pt](-5.2,0.05)(-4,0.13)(-3,0.28)(-2,0.4)(-1,0.35)(0,-1)(0.38,-2.6) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-5}{3}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp mul neg} \end{pspicture*}\]




Question 2 :

a. La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$
b. La fonction $f$ est convexe sur $\left]- \infty;~- \dfrac12\right[$
c. La courbe $\mathcal{C}_f$ représentant la fonction $f$ n'admet pas de point d'inflexion
d. la fonction $f$ est concave sur $\left] - \infty~;~- \dfrac12\right[$


Question 3:

La dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$ vérifie :
a. $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in \left]-\infty~;~- \dfrac12\right[$
b. $f''(x) \geqslant 0$ pour $x \in [- 2~;~- 1]$
c. $f''\left(- \dfrac32 \right) = 0$
d. $f''(- 3) = 0$


Question 4 :

On considère trois suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$. On sait que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant v_n\leqslant w_n$ et de plus: $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n= 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n= 3$.
On peut alors affirmer que :
a. la suite $\left(v_n\right)$ converge
b. Si la suite $\left(u_n\right)$ est croissante alors la suite $\left(v_n\right)$ est minorée par $u_0$
c. $1 \leqslant v_0 \leqslant 3$
d. la suite $\left(v_n\right)$ diverge.


Question 5:

On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel $n$ non nul: $u_n \leqslant u_{n+1} \leqslant \dfrac1n$.
On peut alors affirmer que :
a. la suite $\left(u_n\right)$ diverge
b. la suite $\left(u_n\right)$ converge c.$\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ d. $\dsp\lim_{n \to + \infty} u_n = 1$.


Question 6:

On considère $\left(u_n\right)$ une suite réelle telle que pour tout entier naturel $n$, on a : $n < u_n < n + 1$.
On peut affirmer que:
a. Il existe un entier naturel $N$ tel que $u_N$ est un entier
b. la suite $\left(u_n\right)$ est croissante
c. la suite $\left(u_n\right)$ est convergente
d. La suite $\left(u_n\right)$ n'a pas de limite.

Correction



Question 1 : b.
Pour $x\leqslant-1$, on a $f'(x)\geqslant0$ donc $f$ est croissante, et inversement ensuite pour $x\geqslant1$.
Ainsi, $f$ a un maximum local en $x=-\dfrac12$.


Question 2 : a.
La dérivée $f'$ est croissante sur $\left]- \infty~;~- \dfrac32\right[$, donc $f''$ est positive sur cet intervalle, et $f$ y est convexe.


Question 3: c.
$f'$ admet un maximum en $x=-\dfrac32$, donc sa dérivée $f''$ s'y annule.

Question 4 : b.
$(u_n)$ croissante signifie que
\[u_0\leqslant u_1\leqslant u_2\leqslant \dots\leqslant u_n\leqslant\dots\]

et on a donc, pour tout entier $n$,
\[u_0\leqslant u_n\leqslant v_n\]

ce qui montre que $(v_n)$ est minorée par $u_0$.


Question 5: b.
Les inégalités données montrent que $(u_n)$ est croissante et aussi aue $(u_n)$ est majorée, par 1 par exemple, car
\[u_n\leqslant u_{n+1}\leqslant\dfrac1n\leqslant1\]


Ainsi $(u_n)$ est convergente (théorème de convergence monotone)


Question 6: b.
On a
\[n < u_n < n + 1\]

donc, au rang suivant
\[n+1 < u_{n+1} < n + 2\]

et donc, en particulier
\[u_n<n+1<u_{n+1}\]

qui montre que la suite est croissante.

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