Bac 2022 (11 mai): Exponentielle et suite récurrente

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans le cadre d'un essai clinique on envisage deux protocoles de traiterment de d'une maladie.
L'objectif de cet exercice est d'étudier, pour ces deux protocoles, l'évolution de la quantité de médicament présente dans le sang d'un patient en fonction du temps.


Les parties A et B sont indépendantes


Partie A : Étude du premier protocole


Le premier protocole consiste à faire absorber un médicament, sous forme de comprimé, au patient.
On modélise la quantité de médicament présente dans le sang du patient, exprimée en mg, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 10] par
\[f(t) = 3t e^{-0,5t+1},\]

où $t$ désigne le temps, exprimé en heure, écoulé depuis la prise du comprimé.


    1. On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0 ; 10] et on note $f'$ sa fonction dérivée. Montrer que, pour tout nombre réel $t$ de [0 ; 10], on a: $f'(t) = 3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}$.
    2. En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; 10].
    3. Selon cette modélisation, au bout de combien de temps la quantité de médicament présente dans le sang du patient sera-t-elle maximale ? Quelle est alors cette quantité maximale?
    1. Montrer que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [0 ; 2] notée $\alpha$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près. On admet que l'équation $f(t) = 5$ admet une unique solution sur l'intervalle [2 ; 10], notée $\beta$, et qu'une valeur approchée de $\beta$ à $10^{-2}$ près est 3,46.
    2. On considère que ce traitement est efficace lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5 mg. Déterminer, à la minute près, la durée d'efficacité du médicament dans le cas de ce protocole.




Partie B : Étude du deuxième protocole


Le deuxième protocole consiste à injecter initialement au patient, par piqüre intraveineuse, une dose de $2$ mg de médicament puis à réinjecter toutes les heures une dose de $1,8$ mg.
On suppose que le médicament se diffuse instantanément dans le sang et qu'il est ensuite progressivement éliminé.
On estime que lorsqu'une heure s'est écoulée après une injection, la quantité de médicament dans le sang a diminué de 30 % par rapport à la quantité présente immédiatement après cette injection.
On modélise cette situation à l'aide de la suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne la quantité de médicament, exprimée en mg, présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la $n$-ième heure. On a donc $u_0 = 2$.


  1. Calculer, selon cette modélisation, la quantité $u_1$, de médicament (en mg) présente dans le sang du patient immédiatement après l'injection de la première heure.
  2. Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n<u_{n+1} < 6$.
    2. En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On note $\ell$ sa limite.
    3. Déterminer la valeur de $\ell$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
  4. On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 6 - u_n$.
    1. Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,7$ dont on précisera le premier terme.
    2. Déterminer l'expression de $v_n$ en fonction de $n$, puis de $u_n$n en fonction de $n$.
    3. Avec ce protocole, on arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg. Déterminer, en détaillant les calculs, le nombre d'injections réalisées en appliquant ce protocole.

Correction
Partie A : Étude du premier protocole
    1. On a $f=uv$ avec $u(t)=3t$ donc $u'(t)=3$ et $v(t)=e^{-0,5t+1}=e^{w(t)}$ avec $w(t)=-0,5t+1$ donc $w'(t)=-0,5$ et alors $v'(t)=w'(t)e^{w'(t)}=-0,5e^{-0,5t+1}$.
      On obtient alors $f'=u'v+uv'$, soit
      \[\begin{array}{ll}f'(t)&=3e^{-0,5t+1}+3t\tm\lp-0,5e^{-0,5t+1}\rp\\[.4em] &=3e^{-0,5t+1}\lp1-0,5t\rp\\[.4em] &=3(-0,5t + 1)e^{-0,5t+1}\enar\]


    2. On a alors le signe de lé dérivée et le sens de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*5c|}\hline $t$ & 0 && 2 && 10 \\\hline $-0,5t+1$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline $e^{-0,5t+1}$ && $+$ &\vline & $+$ & \\\hline $f'(t)$ && $+$ &\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$} & $-$ & \\\hline &&&&&\\ $f$&&\Large{$\nearrow$}&&\Large{$\searrow$}&\\ &&&&&\\\hline \end{tabular}\]


    3. Selon cette modélisation, la quantité maximale de médicament présente dans le sang du patient sera de $f(2)=3\tm2e^0=6$ mg, au bout de 2 heures.
    1. Sur [0;2], la fonction $f$ est continue (car même dérivable), strictement croissante, avec $f(0)=0<5$ et $f(2)=6>5$, et ainsi, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (théorème de la bijection), on sait donc qu'il existe une unique solution $\alpha$ à l'équation $f(t) = 5$.
      Avec la calculatrice, par balayage par exemple, on touve $1,02<\alpha<1,03$ soit, $\alpha\simeq1,02$.
    2. On peut compléter le tableau de variation:
      \[\begin{tabular}{|c|*9c|}\hline $t$ & 0 &&$\alpha$ && 2 &&$\beta$&& 10 \\\hline &&&&&&&&&\\ $f$&&\psline[arrowsize=8pt]{->}(-.5,-.5)(1.3,.5)&5&&& \psline[arrowsize=8pt]{->}(-.2,.5)(1.4,-.5)&5&&\\ &&&&&&&&&\\\hline \end{tabular}\]

      grâce auquel on trouve que la durée d'efficacité du médicament est donc de $\beta-\alpha\simeq3,46-1,02=2,44$ soit 2,44 heures, ou encore 2 heures et 26 minutes.




Partie B : Étude du deuxième protocole
  1. Selon cette modélisation, à la première heure la quantité dans le sang a diminué de 30%, il en reste donc $0,7\tm2=1,4\,\text{mg}$. On réinjecte de plus une nouvelle dose de 1,8 mg, et on trouve donc que
    \[u_1=0,7\tm2+1,8=3,2\]


  2. De même que précédemment, à la (n+1)-ème heure, la quantité dans le sang présente l'heure précédente, soit $u_n$ a diminué de 30%, soit $0,7u_n$, et on réinjecte, donc ajoute, 1,8 mg.
    On obtient donc bien la relation $u_{n+1} = 0,7u_n + 1,8$.
    1. Soit la proposition $\mathcal{P}_n: u_n <u_{n+1} < 6$.

      Initialisation: on a $u_0=2$ et $u_1=3,2$ d'où $\mathcal{P}_1$ est vraie: $u_0<u_1<6$.

      Hérédité: Supposons que pour un certain entier $n$, $\mathcal{P}_n$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
      Alors, en multipliant par $0,7>0$, on obtient $0,7u_n<0,7u_{n+1}<0,7\tm6=4,2$,
      puis en ajoutant 1,8 on aboutit à $0,7u_n+1,8<0,7u_{n+1}+1,8<4,2+1,8$,
      c'est-à-dire exactement $u_{n+1}<u_{n+1}<6$ et qui montre donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est alors vraie.

      Conclusion: on vient donc de démontrer, d'après le principe de récurrence, que pour tout entier $n$, $\mathcal{P}_n$ est vraie, c'est-à-dire $u_n <u_{n+1} < 6$.
    2. On déduit du résultat précédent que la suite $\left( u_n\rp$ est croissante et aussi qu'elle est majorée par 6.
      On en déduit donc (théorème de convergence monotone) qu'elle converge vers une limite $l$.
    3. On a $u_{n+1}=0,7u_n+1,8$ et on sait que $\dsp\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.
      Ainsi, on doit nécessairement avoir (théorème du point fixe), que
      \[l=0,7l+1,8\iff l=\dfrac{1,8}{0,3}=6\]

    1. Pour tout entier $n$, on a
      \[\begin{array}{ll}v_{n+1}&=6-u_{n+1}\\ &=6-\lp0,7u_n+1,8\rp\\ &=4,2-0,7u_n\\ &=0,7\lp6-u_n\right) =0,7v_n\enar\]

      ce qui montre que la suite $\left( v_n\rp$ est bien géométrique de raison $0,7$ et de premier terme $v_0=6-u_0=4$.
    2. On en déduit alors que, pour tout entier $n$,
      \[v_n=v_0\times q^n=4\times0,7^n\]

      puis, comme $v_n=6-u_n\iff u_n=6-v_n$, que
      \[u_n=6-4\tm0,7^n\]


    3. On arrête les injections lorsque la quantité de médicament présente dans le sang du patient est supérieure ou égale à 5,5 mg, soit lorsque
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&6-4\tm0,7^n\geqslant5,5\\ \iff&-4\tm0,7^n\geqslant-0,5\enar\]

      soit, en divisant par $-4<0$, puis en prenant le logarithme népérien qui est strictement croissant,
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff&0,7^n\leqslant\dfrac{-0,5}{-4}=0,125\\ \iff&\ln\lp0,7^n\rp=n\ln(0,7)\leqslant\ln(0,125)\enar\]

      Enfin, en divisant par $\ln(0,7)<0$, on obtient finalement
      \[\begin{array}{ll}&u_n\geqslant5,5\\ \iff n\geqslant\dfrac{\ln(0,125)}{\ln(0,7)}\simeq5,8\enar\]

      Comme on réalise une injection par heure, il faut donc en réaliser 6.


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