Bac 2021 (sujet 0): Logarithme et convexité

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Sur le graphique ci-dessous, on a représenté dans un repère orthonormé :
  • la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d’une fonction $f$ définie et dérivable sur $]0~;~+\infty[$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_A$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A de coordonnées $\left(\dfrac{1}{e}~;~e\right)$ ;
  • la tangente $\mathcal{T}_B$ à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point B de coordonnées (1 ; 2).
La droite $\mathcal{T}_A$ est parallèle à l’axe des abscisses. La droite $\mathcal{T}_B$ coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées (3 ; 0) et l’axe des ordonnées au point de coordonnées (0 ; 3).


$$(-0.4,-0.7)(8,3.7) \multido{\n=-0.0+0.5}{16}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](\n,-0.5)(\n,3.5)} %\multido{\n=0+1}{51}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-100)(\n,100)} \multido{\n=-0.5+0.5}{8}{\psline[linewidth=0.35pt,linecolor=lightgray](0,\n)(7.50,\n) } \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psaxes[linewidth=0.95pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-0.5)(7.6,3.6) \psplot[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,plotpoints=5000]{0.127}{7.50}{x ln 2 add x div} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{7.50}{2.71828} \psplot[linewidth=0.85pt,linecolor=cyan,plotpoints=5000]{-0.1}{3.50}{x neg 3 add} \psdots[dotstyle=Bullet,dotscale =1.1](0.367879,2.71828)(1,2) \uput[ur](0.468,2.81828){A}\uput[ur](1.1,2.1){B} \uput[u](6.5,2.5){\cyan $\mathcal{T}_A$} \uput[r](2.2,0.5){\cyan $\mathcal{T}_B$} \uput[r](5,0.5) {\blue $\mathcal{C}_f$} $$





On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.


Partie I
  1. Déterminer graphiquement les valeurs de $f'\lp\dfrac1e\rp$ et de $f'(1)$.
  2. En déduire une équation de la droite $\mathcal{T}_B$.

Partie II
On suppose maintenant que la fonction $f$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) =\dfrac{2+\ln(x)}{x}.\]


  1. Par le calcul, montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ passe par les points A et B et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point unique que l’on précisera.
  2. Déterminer la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers 0 par valeurs supérieures, et la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
  3. Montrer que, pour tout $x\in]0~;~\infty[$,

    \[f'(x)=\dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} .\]


  4. Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
  5. On note $f''$ la fonction dérivée seconde de $f$ On admet que, pour tout $x\in]0~;~+\infty[$

    \[f''(x)=\dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} .\]


    Déterminer le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.

Correction

Partie I
  1. $f'\lp\dfrac1e\rp=0$ car c'est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}_A$, qui est horizontale.

    De même, $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente $\mathcal{T}_B$, qui passe par le point $B(1;2)$ et le point de l'axe des abscisses de coordonnées $(0;3)$.
    Ce coefficient directeur est donc $f'(1)=\dfrac{3-0}{0-3}=-1$.
  2. La droite $\mathcal{T}_B$ a pour coefficient directeur $-1$ et 3 pour ordonnée à l'origine, donc elle a pour équation: $y=-x+3$.



Partie II
$f(x)=\dfrac{2+\ln(x)}{x}$, pour $x>0$

    • \[f\lp\dfrac1e\right) = \dfrac{2+\ln\lp\frac1e\right)}{\frac1e} = e\left( 2 - \ln(e)\right) = e( 2 - 1)=e\]

      donc $A\in\mathcal{C}_f$.

    • $f(1)=\dfrac{2+\ln(1)}{1}=2$ donc $B\in\mathcal{C}_f$.
    • La courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un point dont l'abscisse est solution de l'équation $f(x)=0$, soit,
      \[\begin{array}{ll}f(x)=0 &\iff \dfrac{2+\ln(x)}{x} = 0\\ &\iff 2+\ln(x)=0\\ &\iff \ln(x)=-2\\ &\iff x = e^{-2} \enar\]


      Donc la courbe $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des abscisses en un point unique de coordonnées $\left ( e^{-2}~;~0\right )$.

  2. On a $\dsp\lim_{x\to0} \lp2+\ln(x)\rp=-\infty$ et $\dsp\lim_{x\to0}x=0$, avec $x>0$, d'où, par quotient des limites, $\dsp\lim_{x\to0}f(x)=-\infty$.

    On a $f(x)=\dfrac2x+\dfrac{\ln(x)}{x}$, avec $\dsp\lim_{x\to+\infty}\dfrac2x=0$ et, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x}=0$
    d'où, $\dsp\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
  3. Pour $x>0$, en dérivant le quotient $f=\dfrac{u}v$, on a
    \[\begin{array}{ll}f'(x)&=\dfrac{\frac1x\times x - (2+\ln(x)) \times1}{x^2} \\[.8em] &= \dfrac{1-2-\ln(x)}{x^2} = \dfrac{-1-\ln(x)}{x^2} \enar\]


  4. On a $-1-\ln(x) >0 \iff -1 > \ln(x) \iff x < e^{-1}$
    On dresse le tableau de variations de $f$ sur $]0~;~+\infty[$:

    \[\renewcommand{\arraystretch}{1.3} \psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}% param\`etres \def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau \def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur \begin{array}{|c|l *4{c}|} \hline x & 0 & \esp & e^{-1} & \esp & +\infty \\ \hline -1-\ln(x)&\vline\;\vline & + & \vline\hspace{-2.7pt}0 & - & \\ \hline x^2 &0 && + & & \\\hline f'(x) &\vline\;\vline & \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ \hline & \vline\;\vline & & \Rnode{max}{e} & & \\ f(x) &\vline\;\vline & & & & \rule{0pt}{\hauteur} \\ & \vline\;\vline \Rnode{min1}{~-\infty} & & & & \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur} \ncline{->}{min1}{max} \ncline{->}{max}{min2} \\ \hline\end{array}\]


  5. La fonction $f$ est convexe lorsque $f''$ est positive, soit
    \[\begin{array}{ll}f''(x)\geqslant 0 &\iff \dfrac{1+2\ln(x)}{x^3} \geqslant 0\\[.8em] &\iff 1+2\ln(x) \geqslant 0\\[.6em] &\iff \ln(x) \geqslant -\dfrac12\\ &\iff x\geqslant e^{-\frac{1}{2}} \enar\]

    Donc le plus grand intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe est $\left [e^{-\frac{1}{2}}~;~+\infty \right [$.


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