Bac 2021 (Asie 8 juin): QCM, fonction, suite, python

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM)


Pour chaque question, trois affirmations sont proposées, une seule de ces affirmations est exacte.
Le candidat recopiera sur sa copie le numéro de chaque question et la lettre de la réponse choisie pour celle-ci.
Aucune justification n'est demandée. Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.


  1. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \left( x^2 - 2x - 1\right) e^x$.
    A. La fonction dérivée de $f$ est la fonction définie par $f'(x) = (2x - 2)e^x$.
    B. La fonction $f$ est décroissante sur l'intervalle $]-\infty~;~2]$.
    C. $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac3{5+e^x}$. Sa courbe représentative dans un repère admet :
    A. une seule asymptote horizontale;
    B. une asymptote horizontale et une asymptote verticale;
    C. deux asymptotes horizontales.
  3. On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}_{f''}$ représentant la fonction dérivée seconde $f''$ d'une fonction $f$ définie et deux fois dérivable sur l'intervalle $[-3,5~;~6]$.

    \[\psset{unit=1cm,arrowsize=7pt 3} \begin{pspicture}(-4,-3)(7,5) \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.1pt] \psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-4,-3)(7,5) \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3.5}{6}{x 3 exp 0.1 mul x dup mul 0.4 mul sub 1.1 x mul sub 3 add} \uput[u](6.8,0){$x$} \uput[r](0,4.8){$y$} \rput[u](1.5,-3.4){Courbe de la fonction d\'eriv\'ee seconde $f''$} \end{pspicture}\]




    A. La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $[-3~;~3]$.
    B. La fonction $f$ admet trois points d'inflexion.
    C. La fonction dérivée $f'$ de $f$ est décroissante sur l'intervalle [0 ; 2].
  4. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = n^2 - 17n + 20$.
    A. La suite $\left(u_n\right)$ est minorée.
    B. La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
    C. L'un des termes de la suite $\left( u_n\rp$ est égal à 2021.
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,   $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
    On considère la fonction « seuil »  suivante écrite en Python :

    \[\begin{tabular}{|l|}\hline def seuil () :\\ \quad u = 2\\ \quad n = 0\\ \quad while u $<$ 45 :\\ \qquad u = 0,75*u + 5\\ \qquad n = n+1\\ \quad return n\\ \hline \end{tabular}\]


    Cette fonction renvoie :
    A. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$ ; B. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$ ; C. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.

Correction

  1. $f(x) = \left( x^2 - 2x - 1\right) e^x= x^2e^x - 2x e^x - e^x$.
    Comme $\dsp\lim_{x \to - \infty} e^x = 0$, et que, par croissances comparées, $\dsp\lim_{x \to - \infty} 2x e^x = 0$ et $\dsp\lim_{x \to - \infty} x^2 e^x = 0$, on obtient, par somme de limites: $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$.
    Réponse C.
  2. On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = \dfrac{3}{5+e^x}$.
    • On a $\dsp\lim_{x \to - \infty} f(x) = \dfrac{3}{5}$ : la droite d'équation $y = \dfrac{3}{5}$ est asymptote horizontale en moins l'infini
    • On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ : l'axe des abscisses est asymptote horizontale au voisinage de plus l'infini.

    Réponse C.
  3. On voit sur la figure que $f''(- 3) = f''(2) = f''(5) = 0$ : la dérivée seconde s'annule trois fois donc la fonction $f$ admet trois points d'inflexion. Réponse B.
  4. $u_n=n^2 - 17n + 20$ est un trinôme du second degré qui a un minimum en $n_0=-\dfrac{b}{2a}=\dfrac{17}{2}$.
    Le minimum de la suite est donc $u_8$ ou $u_9$ qui est aussi un minorant de la suite. Réponse A.
  5. Réponse A.


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