Bac 2021 - Arbre pondéré, probabilités conditionnelles et loi binomiale
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats,
le recrutement se fait de deux façons :
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
Partie 2
- 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
- Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.
On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
- l'évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier »;
- l'évènement « le candidat a été admis à l'école »;
- et les évènements contraires des évènements et respectivement.
- Traduire la situation par un arbre pondéré.
- Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
- Montrer que la probabilité de l'évènement est égale à .
- On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné?
Partie 2
- On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à .
On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.- On admet que la variable aléatoire suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi?
- Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.
- Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
- Un lycée présente candidats au recrutement dans cette école, où est un entier naturel non nul.
On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.- Donner l'expression, en fonction de , de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
- À partir de quelle valeur de l'entier la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à ?
Correction
Bac 2021 - 15 mars, sujet 1
Partie 1
Partie 2
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Bac 2021 - 15 mars, sujet 1
Partie 1
-
- La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école est:
- La probabilité de l'évènement est,
d'après la formule des probabilités totales:
- La probabilité que le dossier n'ait pas été sélectionné,
sachant qu'il a été admis à l'école, est
Partie 2
-
- La probabilité du succés, un candidat d'être admis à l'école,
est , et on choisit un échantillon de candidats.
La variable aléatoire suit donc la loi binomiale . - La probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école est:
- La probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort
soient admis à cette école est:
- La probabilité du succés, un candidat d'être admis à l'école,
est , et on choisit un échantillon de candidats.
-
- La variable aléatoire qui donne le nombre d'admis
parmi les candidats présentés suit la loi binomiale
.
La probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis
à l'école est donc
- On cherche à partir de quelle valeur de l'entier la probabilité
qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est supérieure
ou égale à ,
car .
On trouve donc qu'à partir de 17 élèves la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est supérieure ou égale à .
- La variable aléatoire qui donne le nombre d'admis
parmi les candidats présentés suit la loi binomiale
.
La probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis
à l'école est donc
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