Bac 2021 - Arbre pondéré, probabilités conditionnelles et loi binomiale

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Dans une école de statistique, après étude des dossiers des candidats, le recrutement se fait de deux façons :
  • 10 % des candidats sont sélectionnés sur dossier. Ces candidats doivent ensuite passer un oral à l'issue duquel 60 % d'entre eux sont finalement admis à l'école.
  • Les candidats n'ayant pas été sélectionnés sur dossier passent une épreuve écrite à l'issue de laquelle 20 % d'entre eux sont admis à l'école.
Partie 1

On choisit au hasard un candidat à ce concours de recrutement. On notera:
  • $D$ l'évènement « le candidat a été sélectionné sur dossier »;
  • $A$ l'évènement « le candidat a été admis à l'école »;
  • $\overline{D}$ et $\overline{A}$ les évènements contraires des évènements $D$ et $A$ respectivement.

  1. Traduire la situation par un arbre pondéré.
  2. Calculer la probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école.
  3. Montrer que la probabilité de l'évènement $A$ est égale à $0,24$.
  4. On choisit au hasard un candidat admis à l'école. Quelle est la probabilité que son dossier n'ait pas été sélectionné?

Partie 2
  1. On admet que la probabilité pour un candidat d'être admis à l'école est égale à $0,24$.
    On considère un échantillon de sept candidats choisis au hasard, en assimilant ce choix à un tirage au sort avec remise. On désigne par $X$ la variable aléatoire dénombrant les candidats admis à l'école parmi les sept tirés au sort.
    1. On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de cette loi?
    2. Calculer la probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école. On donnera une réponse arrondie au centième.
    3. Calculer la probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école. On donnera une réponse arrondie au centième.
  2. Un lycée présente $n$ candidats au recrutement dans cette école, où $n$ est un entier naturel non nul.
    On admet que la probabilité pour un candidat quelconque du lycée d'être admis à l'école est égale à $0,24$ et que les résultats des candidats sont indépendants les uns des autres.
    1. Donner l'expression, en fonction de $n$, de la probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école.
    2. À partir de quelle valeur de l'entier $n$ la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est-elle supérieure ou égale à $0,99$ ?

Correction
Bac 2021 - 15 mars, sujet 1
Partie 1

  1. \[\psset{xunit=1.3cm,yunit=.8cm} \begin{pspicture}(-.4,-2)(4.2,2) %\rput(0,0){$A_1$} \psline(0,0)(1.5,1)\rput(1.75,1){$D$} \rput(.8,.9){0,1} \rput(.8,-1){0,9} \psline(0,0)(1.5,-1)\rput(1.75,-1){$\overline{D}$} \psline(2.1,1.2)(3.5,1.6)\rput(3.8,1.6){$A$} \rput(2.8,1.7){0,6} \psline(2.1,.8)(3.5,.4)\rput(3.8,.4){$\overline{A}$} \rput(2.8,.2){0,4} \rput(2.8,-.4){0,2} \psline(2.1,-1.2)(3.5,-1.6)\rput(3.8,-1.6){$\overline{A}$} \psline(2.1,-.8)(3.5,-.4)\rput(3.8,-.4){$A$} \rput(2.8,-1.8){0,8} \end{pspicture}\]


  2. La probabilité que le candidat soit sélectionné sur dossier et admis à l'école est:
    \[P(D\cap A)=0,1\tm0,6=0,06\]


  3. La probabilité de l'évènement $A$ est, d'après la formule des probabilités totales:
    \[\begin{array}{ll}P(A) &= P(D\cap A) + P(\overline{D}\cap A) \\ &= 0,06 + 0,9\times 0,2 = 0,24\enar\]


  4. La probabilité que le dossier n'ait pas été sélectionné, sachant qu'il a été admis à l'école, est
    \[P_A(\overline{D}) =\dfrac{P(\overline{D}\cap A)}{P(A)} =\dfrac{0,18}{0,24}=0,75\]


Partie 2
    1. La probabilité du succés, un candidat d'être admis à l'école, est $p=0,24$, et on choisit un échantillon de $n=7$ candidats.
      La variable aléatoire $X$ suit donc la loi binomiale $\mathcal{B}\lp7\,;\,0,24\rp$.
    2. La probabilité qu'un seul des sept candidats tirés au sort soit admis à l'école est:
      \[P(X=1)=\binom{7}{1}\times 0,24^1 \times (1-0,24)^{7-1} \approx 0,32\]

    3. La probabilité qu'au moins deux des sept candidats tirés au sort soient admis à cette école est:
      \[P(X\geqslant 2) = 1-P(X\leqslant 1) = 1-0,47=0,53\]

    1. La variable aléatoire $Y$ qui donne le nombre d'admis parmi les $n$ candidats présentés suit la loi binomiale $\mathcal{B}\left( n ; 0,24\rp$. La probabilité qu'aucun candidat issu de ce lycée ne soit admis à l'école est donc
      \[P(Y=0)=\binom{n}{0}\times 0,24^0 \times 0,76^n=0,76^n\]

    2. On cherche à partir de quelle valeur de l'entier $n$ la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est supérieure ou égale à $0,99$,
      \[\begin{array}{ll}P(Y\geqslant 1) \geqslant 0,99 &\iff 1-P(Y=0) \geqslant 0,99\\ &\iff P(Y=0) \leqslant 0,01\\ &\iff 0,76^n \leqslant 0,01\\ &\iff \ln\left( 0,76^n\right) \leqslant \ln(0,01)\\ &\iff n \times \ln(0,76) \leqslant \ln(0,01)\\ &\iff n \geqslant \dfrac{\ln(0,01)}{\ln(0,76)}\simeq16,8 \enar\]

      car $\ln(0,76)<\ln(1)<0$.

      On trouve donc qu'à partir de 17 élèves la probabilité qu'au moins un élève de ce lycée soit admis à l'école est supérieure ou égale à $0,99$.


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