Bac 2021 (7 juin): QCM, exponentielle, python

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.
Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.



Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par: $f(x) =\dfrac{e^{2x}}{x}$.
[.4em] On donne l'expression de la dérivée seconde $f''$ de $f$, définie sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ par:
\[f''(x)=\dfrac {2e^{2x} (2x^2-2x+1)}{x^3}\]


  1. La fonction $f'$, dérivée de $f$, est définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:
    a. $f'(x) = 2e^{2x}$
    b. $f'(x)=\dfrac{e^{2x}(x-1)}{x^2} $
    c. $ f'(x) = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}$
    d. $f'(x)=\dfrac{e^{2x}(1 + 2x)}{x^2} $.
  2. La fonction $f$ :
    a. est décroissante sur $]0~;~+\infty[$ b. est monotone sur $]0~;~+\infty[$ c. admet un minimum en $\dfrac{1}{2}$ d. admet un maximum en $\dfrac{1}{2}$.
  3. La fonction $f$ admet pour limite en $+\infty$ :
    a. $+\infty $
    b. $0$
    c. $1$
    d. $e^{2x}$.
  4. La fonction $f$ :
    a. est concave sur $]0~;~+\infty[$ b. est convexe $]0~;~+\infty[$ c. est concave sur $\left]0~;~\frac{1}{2}\right]$ d. est représentée par une courbe admettant un point d'inflexion
  5. On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$,   $u_{n+1} = 0,75u_n +5$.
    On considère la fonction « seuil »  suivante écrite en Python :

    \[\begin{tabular}{|l|}\hline def seuil () :\\ \quad u = 2\\ \quad n = 0\\ \quad while u $<$ 45 :\\ \qquad u = 0,75*u + 5\\ \qquad n = n+1\\ \quad return n\\ \hline \end{tabular}\]


    Cette fonction renvoie :
    a. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$
    b. la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n < 45$
    c. la plus grande valeur de $n$ telle que $u_n \geqslant 45$.

Correction
QCM - Baccalauréat général, spécialité mathématiques, Métropole 7 juin 2021
  1. $f$ est dérivable comme fonction quotient de fonctions dérivables, le dénominateur étant non nul sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$, avec
    \[f'(x) = \dfrac{2e^{2x} \times x - 1 \times e^{2x}}{x^2} = \dfrac{e^{2x}(2x - 1)}{x^2}\]


    Réponse c.
  2. Comme sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$,   $x^2 > 0$ et $e^{2x} > 0$, le signe de $f'(x)$ est celui de $2x - 1$, soit $f'(x)>0 \iff 2x - 1 > 0 \iff x > \dfrac12$ ;
    et donc $f'(x) < 0 \iff x < \dfrac{1}{2}$ et $f$ est décroissante sur $\left]0~;~\frac12\right[$ ; et par ailleurs $f'(x) > 0 \iff x > \dfrac12$ et $f$ est croissante sur $\left]\frac{1}{2}~;~+ \infty\right[$ ;
    On a donc que $f$ admet un minimum en $\dfrac12$.
    Réponse c.
  3. On a, en posant $X=2x$, $f(x) = 2 \tm\dfrac{e^{2x}}{2x}=2\dfrac{e^X}{X}$,et alors par croissances comparées,

    \[\lim_{x \to + \infty}f(x)=\lim_{X \to + \infty}2\dfrac{e^X}{X}=+\infty\]


    Réponse a.
  4. Sur $]0~;~+\infty[$,   $x^3 > 0$ et $2e^{2x} > 0$, donc le signe de $f''(x)$ est celui du trinôme $2x^2 - 2x + 1$.
    Le discriminant de ce trinôme est $\Delta=-4<0$; il n'admet donc aucune racine, et il est de signe constant, ici positif, sur $\R$.
    On en déduit que $f''(x)\geqslant0$ sur $]0 ; +\infty[$, et donc que la fonction y est convexe.
    Réponse b.
  5. Réponse a.


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