Bac 2015 (Métropole) - Skateparc: logarithme, pentes, dérivées, primitive, intégrale
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
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Une municipalité a décidé d'installer un module de skateboard dans un parc de la commune.
Le dessin ci-contre en fournit une perspective cavalière. Les quadrilatères , , et sont des rectangles. Le plan de face est muni d'un repère orthonormé (O,I,J). L'unité est le mètre. La largeur du module est de 10 mètres, autrement dit, , sa longueur est de 20 mètres. |
Le but du problème est de déterminer l'aire des différentes surfaces à peindre.
Le profil du module de skateboard a été modélisé à partir d'une photo par la fonction définie sur l'intervalle par
On note la fonction dérivée de la fonction et la courbe représentative de la fonction dans le repère (O, I, J).
Partie 1
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4. On admet que la fonction définie sur l'intervalle par
a pour dérivée la fonction définie sur l'intervalle par .
Déterminer une primitive de la fonction sur l'intervalle .
Partie 2
Les trois questions de cette partie sont indépendantes
- Les propositions suivantes sont-elles exactes ? Justifier les réponses.
- [:] La différence de hauteur entre le point le plus haut et le point le plus bas de la piste est au moins égale à 8 mètres.
- [:] L'inclinaison de la piste est presque deux fois plus grande en qu'en .
- On souhaite recouvrir les quatre faces latérales de ce module d'une couche de peinture rouge. La peinture utilisée permet de couvrir une surface de par litre.
Déterminer, à 1 litre près, le nombre minimum de litres de peinture nécessaires.
-
On souhaite peindre en noir la piste roulante, autrement dit la surface supérieure du module.
Afin de déterminer une valeur approchée de l'aire de la partie à peindre, on considère dans le repère (O, I, J) du plan de face, les points pour variant de 0 à 20.
Ainsi, .
On décide d'approcher l'arc de la courbe allant de à par le segment .
Ainsi l'aire de la surface à peindre sera approchée par la somme des aires des rectangles du type (voir figure).
- Montrer que pour tout entier variant de 0 à 19, .
- Compléter l'algorithme suivant pour qu'il affiche une estimation de l'aire de la partie roulante.
Correction
Partie 1
Partie 2
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Partie 1
- avec , donc ,
, donc soit
et donc .
On a alors , soit . - , par croissance de la
fonction exponentielle, et donc .
- Le coefficient directeur de la tangente à au point d'abscisse est .
- Une primitive de est donc donnée par
Partie 2
-
- La différence entre les points le plus haut et le plus bas est donc est vraie.
- . D'après la question 3., l'inclinaison en est 2, donc est vraie.
- L'aire de la face avant, en unités d'aire, vaut
.
L'aire latérale gauche vaut .
L'aire latérale droite vaut .
L'aire à peindre est donc .
Il faut prévoir donc au minimum litres de peinture.
-
- .
- La partie de l'algorithme à compléter est :
prend la valeur 0.
Pour allant de 0 à 19
  prend la valeur
Fin Pour
Cacher la correction
Tags:IntégralesLogarithme
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