Bac 2014 - Géométrie dans l'espace, dans un tétraèdre…
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
Dans l'espace, on considère un tétraèdre
dont les faces
,
et
sont des triangles rectangles et isocèles en A.
On désigne par
,
et
les milieux respectifs des côtés
,
et
.
On choisit
pour unité de longueur et on se place dans le repère
orthonormé
de l'espace.
![$ABCD](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/1.png)
![$ABC](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/2.png)
![$ACD](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/3.png)
![$ABD](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/4.png)
![$E](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/5.png)
![$F](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/6.png)
![$G](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/7.png)
![$[AB]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/8.png)
![$[BC]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/9.png)
![$[CA]](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/10.png)
On choisit
![$AB](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/11.png)
![$\left( A;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\rp](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114/12.png)
- On désigne par
le plan qui passe par A et qui est orthogonal à la droite (DF).
On note H le point d'intersection du planet de la droite (DF).
- Donner les coordonnées des points D et F.
- Donner une représentation paramétrique de la droite (DF).
- Déterminer une équation cartésienne du plan
.
- Calculer les coordonnées du point H.
- Démontrer que l'angle
est un angle droit.
- On désigne par
un point de la droite
et par
le réel tel que
. On note
la mesure en radians de l'angle géométrique
.
Le but de cette question est de déterminer la position du pointpour que
soit maximale.
- Démontrer que
.
- Démontrer que le triangle
est isocèle en
. En déduire que
.
- Justifier que
est maximale si et seulement si
est maximal.
En déduire queest maximale si et seulement si
est minimal.
- Conclure.
- Démontrer que
Correction
Tout d'abord, une figure :
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Tout d'abord, une figure :
![\psset{xunit=1.cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-2,-2)(2,2)
\pspolygon(-2,-1.5)(0,0)(3,-.5)
\psline(-0.2,-0.16)(0.12,-0.22)(0.32,-0.06)
\psline(-0.12,-.1)(-0.12,.08)(0,0.15)
\psline(0.23,-0.04)(0.23,0.16)(0,0.2)
\psline(-2,-1.5)(0,3)(0,0)
\psline(0,3)(3,-.5)
\rput(-0.3,0.1){$A$}
\rput(-2.2,-1.5){$B$}
\rput(3.2,-.5){$C$}
\rput(-0.2,3){$D$}
\rput(0.5,-1){$\tm$}\rput(0.6,-1.2){$F$}
\rput(-1,-0.75){$\tm$}\rput(-1.2,-.6){$E$}
\rput(1.5,-0.25){$\tm$}\rput(1.3,0.){$G$}
\psplot{-0.1}{0.7}{-8 x mul 3 add}
\end{pspicture}](/Generateur-Devoirs/TS/ChapGeomSpace/ex114_c/1.png)
-
- On a
,
, et
, pour les coordonnées des points directement liés au repère, et alors
puisque
est le milieu de
.
- Une représentation paramétrique de
est donnée par
où
est un point de la droite de paramètre
, et
est un vecteur directeur de la droite. Cette relation se réécrit sous la forme de la représentation paramétrique:
.
- Le plan
est orthogonal à
, donc
est un vecteur normal à
et une équation cartésienne de
est
où
est un réel.
De plus, on sait que, et donc que
.
Ainsi, une équation cartésienne deest
- Le point
est un point de
et de
, donc ses coordonnées sont celles d'un point de paramètre
dans la représentation paramétrique, et qui vérifient également l'équation du plan: il existe
tel que:
et
.
En substituant les expressions de,
et
en fonction du paramètre
dans l'équation de
, on obtient:
Ainsi,a pour coordonnées
, c'est à dire:
.
- Les coordonnées des vecteurs
et
sont:
et
.
Comme on travaille avec un repère orthonormé, le produit scalaire des deux vecteurs peut être obtenu avec ces coordonnées, et on a:, ce qui montre que les vecteurs
et
sont orthogonaux, et donc que l'angle
est droit.
- On a
- On reconnaît dans le point
décrit, le point de paramètre
dans la représentation paramétrique de la droite
donnée à la question 1. b..
- Le point
est le milieu du segment
, donc ses coordonnées sont
et le vecteur
a pour coordonnées:
, soit
.
On a donc
- On procède de façon analogue pour calculer la longueur
: Le point
est le milieu du segment
, donc ses coordonnées sont
donc le vecteur
a pour coordonnées:
, soit
.
On a donc.
On a donc, et, comme
et
sont des longueurs, donc des nombres positifs, on a bien
et le triangle
est isocèle.
Dans le plan, on a la situation:
On a alors, dans le triangle,
. Or
et
, d'où
, et donc,
. On obtient bien ainsi,
.
-
désigne la mesure en radians d'un angle géométrique, et donc
. On a alors
, intervalle sur lequel la fonction sinus est croissante:
On en déduit en particulier que:maximal
maximal.
De plus, on a d'après la question précédente,.
Donc,est maximal lorsque
est minimal, et donc lorsque
est minimal car la fonction carré étant croissante sur
,
et
ont le même sens de variation.
- On avait
. En notant
, on définit une fonction
trinôme du second degré, donc dérivable sur
, et telle que
et qui est donc décroissante sur
et croissante sur
. En particulier
, donc
, donc aussi
, a un minimum en
.
La position du pointtelle que la mesure de l'angle soit maximale est donc celle atteinte pour le paramètre
, soit
.
- Le point
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Tag:Géométrie dans l'espace
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