Bac 2009 (Antilles-Guyane): Équation différentielle, exponentielle, suite
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement
est une fonction du temps .
Cette fonction est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie
l'équation différentielle:
La température est exprimée en degrés Celsius (C) et le temps en heures.
La température est exprimée en degrés Celsius (C) et le temps en heures.
- Déterminer pour , sachant que pour , la température de l'objet est 220 C.
- Pour la suite, on prendra comme fonction ,
la fonction suivante définie sur par
On note sa courbe représentative.- Étudier les variations de la fonction sur .
- Étudier la limite de la fonction en . La courbe admet-elle une asymptote en ?
- Représenter graphiquement .
- Déterminer le moment où la température de l'objet est 50 C.
Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.
Correction
D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
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D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
- Les solutions de l'équation différentielle:
sont , pour tout réel .
On sait de plus que , soit .
Ainsi, la température de l'objet est . -
- Comme ,
on a
.
Comme pour tout réel , on trouve donc
que et donc que est strictement décroissante.
- On a et donc , et donc la droite d'équation est asymptote en à .
-
- Comme ,
on a
.
Comme pour tout réel , on trouve donc
que et donc que est strictement décroissante.
- Le moment où la température de l'objet est 50 C
est
soit environ 3 heures et 48 minutes.
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Tag:Équations différentielles
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