Bac 2009 (Antilles-Guyane): Équation différentielle, exponentielle, suite

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

La température de refroidissement d'un objet fabriqué industriellement est une fonction $f$ du temps $t$. Cette fonction $f$ est définie sur l'ensemble des nombres réels positifs et vérifie l'équation différentielle:
\[y'(t)+\dfrac12y(t)=10\]

La température est exprimée en degrés Celsius ($^\circ$C) et le temps $t$ en heures.
  1. Déterminer $f(t)$ pour $t\geqslant0$, sachant que pour $t=0$, la température de l'objet est 220 $^\circ$C.
  2. Pour la suite, on prendra comme fonction $f$, la fonction suivante définie sur $\R^+$ par
    \[f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20\]

    On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative.
    1. Étudier les variations de la fonction $f$ sur $\R^+$.
    2. Étudier la limite de la fonction $f$ en $+\infty$. La courbe $\mathcal{C}$ admet-elle une asymptote en $+\infty$ ?
    3. Représenter graphiquement $\mathcal{D}$.
  3. Déterminer le moment où la température de l'objet est 50 $^\circ$C.
    Donner une valeur approchée de ce moment en heures et minutes.

Correction
D'après Bac S, Antilles-Guyane, 23 juin 2009
  1. Les solutions de l'équation différentielle: sont $f(t)=ke^{-\frac12t}+20$, pour tout réel $k$.
    On sait de plus que $f(0)=220$, soit $k+20=220\iff k=200$.
    Ainsi, la température de l'objet est $f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20$.
    1. Comme $\left( e^u\rp'=u'e^u$, on a $f'(t)=200\lp-\dfrac12e^{-\frac{t}2}\right) =-100e^{-\frac{t}2}$. Comme $e^x>0$ pour tout réel $x$, on trouve donc que $f'(t)<0$ et donc que $f$ est strictement décroissante.
    2. On a $\dsp\lim_{t\to+\infty}e^{-\frac12t}=0$ et donc $\dsp\lim_{t\to+\infty}f(t)=20$, et donc la droite d'équation $y=20$ est asymptote en $+\infty$ à $\mathcal{C}$.

    3. \[\psset{xunit=1cm,yunit=.02cm,arrowsize=8pt} \begin{pspicture}(-1,-20)(10,280) \psline{->}(-.5,0)(8,0) \psline{->}(0,-5)(0,280) \psplot[linecolor=blue]{0}{8}{200 2.718 -.5 x mul exp mul 20 add} \rput(1.3,150){\blue$\mathcal{C}$} \psline(-.1,20)(8,20) \rput(1.3,32){$\mathcal{D}$} \rput[r](-.2,21){$20$} \rput[r](-.2,220){$220$} \multido{\i=1+1}{7}{\psline(\i,-5)(\i,5)\rput(\i,-15){\i}} \end{pspicture}\]


  3. Le moment $t$ où la température de l'objet est 50 $^\circ$C est
    \[\begin{array}{lcl} &&f(t)=200e^{-\frac{t}2}+20=50\\[1em] &\iff& e^{-\frac{t}2}=\dfrac{30}{200}=\dfrac{3}{20}\\[1em] &\iff& -\dfrac{t}2=\ln\lp\dfrac3{20}\rp\\[1em] &\iff& t=-2\ln\lp\dfrac3{20}\rp\simeq3,8\enar\]

    soit environ 3 heures et 48 minutes.


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