Aire maximale d'un triangle

Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale

On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal , le cercle de centre et de rayon .
Soit le point de coordonnées et le point de coordonnées .
  1. Par tout point du segment distinct de et , on mène la perpendiculaire à la doite .
    La droite coupe le cercle en et .
    On pose . Calculer, en fonction de , l'aire du triangle .
  2. Soit la fonction numérique définie sur par   , et soit sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l'unité de longueur est 4 cm.
    1. Calculer et dresser le tableau de variations de .
    2. Tracer la courbe .
  3. Montrer que le triangle d'aire maximale est équilatéral.

Correction


  1. L'aire du triangle est , avec et d'après le théorème de Pythagore , soit , soit une aire égale à .
    Par symétrie, l'aire du triangle est égale à celle du triangle .
    Ainsi, l'aire du triangle est
    .

  2. Soit la fonction numérique définie sur par   , et soit sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l'unité de longueur est 4 cm.
    1. est un produit: , avec , soit , et , qui est de la forme , et donc, .
      Ainsi,
      Le trinôme du second degré du numérateur a pour discriminant , et admet donc deux racines réelles distinctes: et .


    2.  

  3. L'aire du triangle est donnée par ; elle est donc maximale lorsque .
    On a alors, dans cette configuration, ,
    et .
    De plus, .
    Ainsi, et le triangle d'aire maximale est donc bien équilatéral.


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