Aire maximale d'un triangle
Exercice corrigé - Spécialité maths, terminale générale
On considère dans le plan rapporté à un repère orthonormal
, le cercle
de centre
et de
rayon
.
Soit
le point de coordonnées
et
le point de
coordonnées
.
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/1.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/2.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/3.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/4.png)
Soit
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/5.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/6.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/7.png)
![](/Generateur-Devoirs/TS/ChapFonctions/ex01/8.png)
- Par tout point
du segment
distinct de
et
, on mène la perpendiculaire
à la doite
.
La droitecoupe le cercle
en
et
.
On pose. Calculer, en fonction de
, l'aire du triangle
.
- Soit
la fonction numérique définie sur
par
, et soit
sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l'unité de longueur est 4 cm.
- Calculer
et dresser le tableau de variations de
.
- Tracer la courbe
.
- Calculer
- Montrer que le triangle
d'aire maximale est équilatéral.
Correction
Cacher la correction
-
L'aire du triangle est
, avec
et d'après le théorème de Pythagore
, soit
, soit une aire égale à
.
Par symétrie, l'aire du triangleest égale à celle du triangle
.
Ainsi, l'aire du triangleest
.
- Soit
la fonction numérique définie sur
par
, et soit
sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormal où l'unité de longueur est 4 cm.
-
est un produit:
, avec
, soit
, et
, qui est de la forme
, et donc,
.
Ainsi,
Le trinôme du second degré du numérateur a pour discriminant, et admet donc deux racines réelles distinctes:
et
.
-
-
- L'aire du triangle est donnée par
; elle est donc maximale lorsque
.
On a alors, dans cette configuration,,
et.
De plus,.
Ainsi,et le triangle d'aire maximale est donc bien équilatéral.
Cacher la correction
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