Source Latex: Exercices de mathématiques, Intégration, calcul d'aire

Terminale

Intégration, calcul d'aire

Exercice (non corrigé) de mathématiques: Calcul de l'aire sous une parabole par découpage en rectangle, et étude d'une suite et de sa limite
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Type: Exercices
File type: Latex, tex (source)
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Description
Exercice (non corrigé) de mathématiques: Calcul de l'aire sous une parabole par découpage en rectangle, et étude d'une suite et de sa limite
Niveau
Terminale
Mots clé
intégrale, calcul intégral, calcul d'aire, aire sous une courbe, suite, rectangles, limite, récurrence

Quelques devoirs


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    pdfauthor={Yoann Morel},
    pdfsubject={Exercices de mathématiques: Intégration},
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\def\N{{\rm I\kern-.1567em N}}
\def\R{{\rm I\kern-.1567em R}}
\def\C{{\rm C\kern-4.7pt 
\vrule height 7.7pt width 0.4pt depth -0.5pt \phantom {.}}}
\def\Q{\mathbb{Q}}
\def\Z{{\sf Z\kern-4.5pt Z}}

\renewcommand{\Re}{\mathcal{R}e}
\renewcommand{\Im}{\mathcal{I}\!m}

\def\epsi{\varepsilon}
\def\lbd{\lambda}
\def\tht{\theta}

\def\Cf{\mathcal{C}_f}

\nwc{\tm}{\times}
\nwc{\V}[1]{\overrightarrow{#1}}

\nwc{\zb}{\mbox{$0\hspace{-0.67em}\mid$}}
\nwc{\db}{\mbox{$\hspace{0.1em}|\hspace{-0.67em}\mid$}}

\nwc{\ul}[1]{\underline{#1}}

\nwc{\bgmp}{\begin{minipage}}\nwc{\enmp}{\end{minipage}}

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% Bandeau en bas de page
\newcommand{\TITLE}{Exercice: Calcul de l'aire sous une courbe}
\author{Y. Morel}
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\lfoot{Y. Morel - \href{https://xymaths.fr/Lycee/Terminale-generale-specialite-mathematiques/}{ xymaths - spé maths en terminale générale}}
\rfoot{Aire sous une courbe\ - 1/1}%\thepage/\pageref{LastPage}}
%\cfoot{\TITLE\ - \ $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$}
\cfoot{}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
%\thispagestyle{empty}


\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$

\medskip

\noindent\bgmp{11cm}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par l'expression 
\[f(x)=1-x^2\] 
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 

\vspd
Le but de l'exercice est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ comprise 
entre la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées 
(aire hachurée ci-contre). 
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=3.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.4)
  \psline{->}(-0.1,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-0.1)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{0}{1}{1 x x mul sub}\gsave
  \psline(1,0)(0,0)
    \fill[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt]
  \grestore}
  \rput(0.6,0.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgen[A.]
\item {\bf Question préliminaire:} 
  Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 2$, 
  \[1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]

\medskip
\item Pour calculer une valeur approchée de l'aire recherchée, 
  on subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de longueur
  $\dfrac{1}{n}$, et on approxime l'aire dans chacun de ces
  intervalles par celle d'un rectangle. 

  \bgen[1.]
  \item {\bf Un cas particulier: $n=4$} 

    \bgmp{10cm}
    Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$, $A_0$, $A_1$, $A_2$ et
    $A_3$, et d'abscisses respectives 
    $0$, $\dfrac14$, $\dfrac24$ et $\dfrac34$. 
    
    \vspd
    En déduire l'aire hachurée $\mathcal{A}_4$, approximation de
    l'aire~$\mathcal{A}$. 
    \enmp
    \bgmp{5cm}
    \psset{unit=4.4cm,arrowsize=7pt}
    \begin{pspicture}(-0.5,0.15)(1.5,0.9)
      \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
      \psline{->}(0,-0.1)(0,1.18)
      \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
      %
      \nwc\f[1]{1 #1 #1 mul sub}
      %
      \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{\f{x}}
      %
      \psplot{0}{0.25}{\f{x}}
      \psline(0.25,0)(!0.25 \space \f{0})(!0 \space \f{0})
      \psline(0.5,0)(!0.5 \space \f{0.25})(!0.25 \space \f{0.25})
      \psline(0.75,0)(!0.75 \space \f{0.5})(!0.5 \space \f{0.5})
      \psline(1,0)(!1 \space \f{0.75})(!0.75 \space \f{0.75})
      \rput(0.25,-0.13){$\dfrac14$}
      \rput(0.5,-0.13){$\dfrac24$}
      \rput(0.75,-0.13){$\dfrac34$}
      \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.08,1.05){$A_0$}
      \rput(!0.25 \space \f{0.25}){$\bullet$}\rput(0.32,1.0){$A_1$}
      \rput(!0.5 \space \f{0.5}){$\bullet$}\rput(0.57,0.8){$A_2$}
      \rput(!0.75 \space \f{0.75}){$\bullet$}\rput(0.84,0.5){$A_3$}
      %
      \pscustom{
        \psline(!0 \space \f{0})(!0.25 \space \f{0})
        (!0.25 \space \f{0.25})(!0.5 \space \f{0.25})
        (!0.5 \space \f{0.5})(!0.75 \space \f{0.5})
        (!0.75 \space \f{0.75})(!1 \space \f{0.75})
        \gsave
        \psline(1,0)(0,0)
        \fill[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt]
        \grestore}

    \end{pspicture}
    \enmp
    

    \vspace{1.1cm}
  \item {\bf Cas général: $n\in\N$, $n\geqslant 2$}

    \bgen[a.]
    \item Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$,  
      $A_0$, $A_1$, \dots, $A_{n-1}$, et d'abscisses respectives 
      $0$, $\dfrac1n$,$\dfrac2n$, \dots, $\dfrac{n-1}{n}$. 
    \item En déduire l'expression $\mathcal{A}_n$ de 
      l'aire des $n$ rectangles. 
      
      \medskip
      Montrer que 
      $\mathcal{A}_n=1-\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}$. 
      
      \medskip
    \item $\mathcal{A}_n$ est une approximation
      de l'aire $\mathcal{A}$ recherchée.
      
      \medskip
      Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de
      $\mathcal{A}_n$. 

      \vspt
      Cette limite est l'aire $\mathcal{A}$ recherchée: 
      $\dsp\lim_{n\to+\infty} \mathcal{A}_n=\mathcal{A}$.
    \enen
  \enen

\enen

\clearpage
\hfill{\LARGE \bf \TITLE}
\hfill $T^{\mbox{\scriptsize{ale}}}S$

\medskip

\noindent\bgmp{11cm}
On considère la fonction $f$ définie sur $[0;1]$ par l'expression 
\[f(x)=1-x^2\] 
On note $\Cf$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal. 

\vspd
Le but de l'exercice est de calculer l'aire $\mathcal{A}$ comprise 
entre la courbe $\Cf$, l'axe des abscisses et l'axe des ordonnées 
(aire hachurée ci-contre). 
\enmp
\bgmp{5cm}
\psset{unit=3.8cm,arrowsize=8pt}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.2)(1.5,1.4)
  \psline{->}(-0.1,0)(1.2,0)
  \psline{->}(0,-0.1)(0,1.2)
  \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
  \pscustom{
  \psplot[linewidth=2pt,plotpoints=200]{0}{1}{1 x x mul sub}\gsave
  \psline(1,0)(0,0)
    \fill[fillstyle=hlines,hatchsep=7pt]
  \grestore}
  \rput(0.6,0.8){$\Cf$}
\end{pspicture}
\enmp

\bgen[A.]
\item {\bf Question préliminaire:} 
  Montrer que, pour tout entier $n\geqslant 2$, 
  \[1^2+2^2+3^2+\dots+(n-1)^2=\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6}\]

\medskip
\item Pour calculer une valeur approchée de l'aire recherchée, 
  on subdivise l'intervalle $[0;1]$ en $n$ intervalles de longueur
  $\dfrac{1}{n}$, et on approxime l'aire dans chacun de ces
  intervalles par celle d'un rectangle. 

  \bgen[1.]
  \item {\bf Un cas particulier: $n=4$} 

    \bgmp{10cm}
    Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$, $A_0$, $A_1$, $A_2$ et
    $A_3$, et d'abscisses respectives 
    $0$, $\dfrac14$, $\dfrac24$ et $\dfrac34$. 
    
    \vspd
    En déduire l'aire hachurée $\mathcal{A}_4$, approximation de
    l'aire~$\mathcal{A}$. 
    \enmp
    \bgmp{5cm}
    \psset{unit=4.4cm,arrowsize=7pt}
    \begin{pspicture}(-0.5,0.15)(1.5,0.9)
      \psline{->}(-0.2,0)(1.2,0)
      \psline{->}(0,-0.1)(0,1.18)
      \rput(-0.1,-0.1){$0$}\rput(1,-0.1){$1$}\rput(-0.1,1){$1$}
      %
      \nwc\f[1]{1 #1 #1 mul sub}
      %
      \psplot[linewidth=1.4pt,plotpoints=200]{0}{1}{\f{x}}
      %
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      \rput(0.75,-0.13){$\dfrac34$}
      \rput(0,1){$\bullet$}\rput(0.08,1.05){$A_0$}
      \rput(!0.25 \space \f{0.25}){$\bullet$}\rput(0.32,1.0){$A_1$}
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      %
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    \end{pspicture}
    \enmp
    

    \vspace{1.1cm}
  \item {\bf Cas général: $n\in\N$, $n\geqslant 2$}

    \bgen[a.]
    \item Déterminer les coordonnées des points de $\Cf$,  
      $A_0$, $A_1$, \dots, $A_{n-1}$, et d'abscisses respectives 
      $0$, $\dfrac1n$,$\dfrac2n$, \dots, $\dfrac{n-1}{n}$. 
    \item En déduire l'expression $\mathcal{A}_n$ de 
      l'aire des $n$ rectangles. 
      
      \medskip
      Montrer que 
      $\mathcal{A}_n=1-\dfrac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}$. 
      
      \medskip
    \item $\mathcal{A}_n$ est une approximation
      de l'aire $\mathcal{A}$ recherchée.
      
      \medskip
      Déterminer la limite quand $n$ tend vers $+\infty$ de
      $\mathcal{A}_n$. 

      \vspt
      Cette limite est l'aire $\mathcal{A}$ recherchée: 
      $\dsp\lim_{n\to+\infty} \mathcal{A}_n=\mathcal{A}$.
    \enen
  \enen

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