Calculs de fonctions dérivées - Fonction exponentielle

Exercices corrigés et détaillés

Rappel des formules

Formules de dérivation de l'exponentielle

Forumles générales de dérivation des fonctions

Propriétés algébriques de l'exponentielle

Exercices corrigés: calculs de fonctions dérivées

1. f (x) = 3e^x
   f (x) = 3e^x
   On a f = 3u avec u = e^x donc u' = e^x et alors f '= 3u', soit finalement f '(x) = 3e^x.
2. f (x) = e^3x+2
   f '(x) = 3e^3x+2
   On a f = e^u avec u(x) = 3x+2 donc u'(x) = 3 et alors f ' = u'e^u
   soit

   f '(x) = 3e^3x+2
3. f (x) = e^x2
   f '(x) = 2xe^x2
   On a f = e^u avec u(x) = x² donc u'(x) = 2x et alors f ' = u'e^u
   soit

   f '(x) = 2xe^x2
4. f (x) = e^−x
   f '(x) = − e^−x
5. f (x) = xe^x
   f '(x) = (1 + x)e^x
   On a un produit f = uv avec u(x) = x donc u'(x) = 1 et v(x) = e^x donc v'(x) = e^x et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,

   f '(x) = 1e^x + xe^x = (1+x)e^x
6. f (x) = (x² + 2)e^x f '(x) = (x² + 2x + 2)e^x
   On a un produit f = uv avec u(x) = x² + 2 donc u'(x) = 2x et v(x) = e^x donc v'(x) = e^x et alors f ' = u'v + uv' soit finalement, en factorisant,

   f '(x) = 2xe^x + (x²+2)e^x = (x² + 2x + 2)e^x
7. f (x) = 2e^x + 1
   f '(x) = − 2e^x(e^x + 1)²
   On peut dériver un quotient car f s'écrit sous la forme f = 2× 1 u avec u(x) = e^x + 1 donc u'(x) = e^x
   On a alors f ' = 2×−u'u² soit

   f '(x) = 2×−e^x(e^x + 1)²

   soit aussi

   f '(x) = −2e^x(e^x + 1)²
   
   
8. f (x) = 12x + 3e^x
   f '(x) = 2x + 1(2x + 3)²e^x
   On peut dériver un quotient car f (x) = e^x2x + 3 et on a donc f = u v avec u(x) = e^x donc u'(x) = e^x et v(x) = 2x + 3 donc v'(x) = 2.
   On a alors f ' = u'v − uv'v² soit

   f '(x) = e^x(2x + 3) − 2e^x(2x + 3)²

   puis, en factorisant,

   f '(x) = e^x2x + 1(2x + 3)²

   
   
   
   Remarque/autres calculs: On peut dériver directement le produit f = uv avec u(x) = 12x + 3 donc u = 1w d'où u' = −w'w² soit u'(x) = −2(2x + 3)²
   et v(x) = e^x donc aussi v'(x) = e^x on obtient alors f '= u'v + uv' soit

   f '(x) = −2(2x + 3)² e^x + 12x + 3 e^x

   que l'on s'empresse de factoriser

   f '(x) = −2(2x + 3)² + 12x+ 3 e^x

   et de mettre sur le même dénominateur

   f '(x) = −2(2x + 3)² + 1(2x + 3)(2x + 3)² e^x = 2x + 1(2x + 3)²e^x
   
   
   
9. f (x) = e^x + 2e^x + 1
   f (x) = − e^x(e^x + 1)²
   On a f = u v avec u(x) = e^x + 2 donc u'(x) = e^x et v(x) = e^x + 1 donc v'(x) = e^x.
   On a alors f ' = u'v − uv'v² soit

   f '(x) = e^x(e^x + 1) − (e^x + 2)e^x(e^x + 1)²

   puis, en factorisant,

   f '(x) = e^x(e^x + 1) − (e^x + 2)(e^x + 1)² = e^x−1(e^x + 1)²

   
   
   
   Remarque/autres calculs: On peut aussi écrire, dès le début,
   

   f (x) = e^x + 2e^x + 1 = (e^x + 1) + 1e^x + 1 = e^x + 1e^x + 1 + 1e^x + 1 = 1 + 1e^x + 1

   et alors, on écrit cette fois f = 1 + 1u avec u(x) = e^x + 1 donc u'(x) = e^x.
   On dérive alors f ' = 0 −u'u² soit

   f '(x) = −e^x(e^x + 1)²
   
   
10. f (x) = xe^−2x
    f '(x) = (1 − 2x)e^−2x
11. f(x) = (e^x + 2x)²
    f '(x) = 2(e^x + 2)(e^x + 2x)
    On a f = u² avec u(x) = e^x + 2x donc u'(x) = e^{x + 2} et alors f '= 2u'u soit

    f '(x) = 2(e^x + 2)(e^x + 2x)
12. f (x) = (x + 2)e^x+2
    f '(x) = (x + 3)e^x+2
13. f (x) = xe^x2
    f '(x) = (1 + 2x²)e^x2
14. f (x) = e^2xe^x + 1
    f '(x) = e^2xe^x + 2(e^x + 1)²
15. f (x) = e^2x + 2e^3x + 3
    f '(x) = e^2x −e^3x + 6 − 6e^x(e^3x + 3)²
16. f (x) = e^x2e^x + x
    f '(x) = e^x2 2xe^x + 2x² − e^x − 1 (e^3x + 3)²
17. f (x) = xe^xe^2x + 1
    f '(x) = e^x (1 − x)e^2x + 1 + x (e^2x + 1)²
18. f (x) = (e^x + 3)²
    f '(x) = 2e^x(e^x + 3)
19. f (x) = (e^3x + 3x + 1)³
    f '(x) = 3(3e^3x + 3) (e^3x + 3x + 1)²
20. f (x) = e^xx + 1²
    f '(x) = 2xe^2x(x + 1)³